Archimede là một nhà toán học, nhà hiền triết và nhà phát minh lớn của Hi lạp cổ. Ông sinh năm 287 trước Công nguyên tại Syracuse trên đảo Sicily, học tại Alexandria ở Ai cập và mất năm 212 trước Công nguyên.  Ông để lại nhiều công trình về hình học, số học và cơ học.

Về cơ học, ông đã giải thích nguyên lý đòn bẩy, sáng chế ròng rọc kép và đinh ốc thuỷ lực để đem nướt từ dưới lên cao. Ông đã để lại cho hậu thế câu nói nổi tiếng: “Hãy cho tôi một chỗ tựa, tôi sẽ nâng quả đất lên”!. Ông là tác giả của nguyên lý thuỷ động học mang tên ông là: trọng lượng giảm mất của một vật chìm trong nước bằng trọng lượng của khối nước bị dời đi (Nguyên lý Archimede). Lúc ông khám phá ra nguyên lý nầy, ông đã la lớn “Eureka” (tôi đã tìm được), và tiếng nầy đã trở thành  thông dụng cho đến ngày nay!  Một công trình toán học nổi tiếng của ông là về sự đo đạc chu vi vòng tròn, từ đó ông đã tính được:

Khi quân La mã do Mercellus cầm đầu, chinh phục Sicily năm 214 trước Công nguyên, ông đã nghĩ ra nhiều máy móc cơ học để chống giặc như máy phóng tên và lửa, và có thể, theo truyền thuyết, cả hệ thống gương phản chiếu ánh nắng mặt trời để đốt tàu địch. Sau 3 năm cầm cự,Syracusebị thất thủ và ông bị một tên lính La mã giết chết, trái với lịnh của Mercellus.

Khi quân La mã xông vào vườn nhà Archimede, họ thấy ông đang nghiên cứu hình học với những vòng tròn vẽ trên cát! Ông la lớn: “Đừng đụng đến những vòng tròn của tôi”, và những lời cuối cùng của ông là: “Họ lấy đi thân xác tôi, nhưng tôi sẽ mang theo trí óc của tôi”.

*   *   *

 Archimede đã để lại cho hậu thế một bài toán khó giải quyết, thường được gọi là “Bài toán đàn bò của Archimede”. Bài toán đó đại ý như sau: “Tính số bò trên đảo Tricarnia. Số bò nầy gồm có 4 bầy phân biệt qua màu lông của bò: bầy màu trắng, bầy màu đen, bầy màu vàng và bầy màu nâu.  Trong mỗi bầy, có một số bò đực và một số bò cái. Số bò đực và số bò cái của các bầy thoả những điều kiện sau đây:

 (1)               Số bò đực trắng =  số bò đực nâu  +    5/6   số bò đực đen
(2)               Số bò đực đen   =  số bò đực nâu   +   9/20  số bò đực vàng
(3)               Số bò đực vàng =  số bò đực nâu   + 13/42  số bò đực trắng
(4)               Số bò cái trắng  =   7/12    số bò đen
(5)               Số bò cái đen    =    9/20    số bò vàng
(6)               Số bò cái vàng  =  11/30  số bò nâu
(7)               Số bò cái nâu    =  13/42  số bò trắng

Thật ra, bài toán đàn bò của Archimede còn có thêm 2 điều kiện phức tạp nữa là:

(8)               Số bò đực trắng + số bò đực đen  =  một số chính phương
(9)               Số bò đực vàng + số bò đực nâu  =  n(n+1)/2,  n là 1 số nguyên nào đó

Không ai giải được bài toán với đầy đủ 9 điều kiện như trên cho đến năm 1981, giàn máy tính Cray 1 ở Phòng Thí nghiệm Quốc gia Lawrence Livermore (USA) mới giải được với 47 trang giấy in ra và lời giải có 206,545 con số!

Trong bài viết nầy, tác giả chỉ xét bài toán Archimede đơn giản hơn, chỉ với 7 điều kiện đầu mà thôi. Đây là một bài toán Diophantine phức tạp có 7 phương trình mà đến 8 ẩn số nguyên. Tám ẩn số đó là:  số bò đực và số bò cái trong 4 bầy bò.

*   *   *

Gọi      T, D, V, N       lần lượt là các số bò đực trắng, đen, vàng và nâu
Và       t,  d,  v,  n        lần lượt là các số bò cái   trắng, đen, vàng và nâu

=>        Số bò trắng =  T +  t;               Số bò đen = D + d
Số bò vàng =  V + v;               Số bò nâu = N + n

Bảy điều kiện của bài toán viết lại là:

T   =  N +     5/6   D    (1
D  =  N +     9/20 V     (2)
V  =  N  +  13/42 T     (3)
t   =  7/12   (D + d)     (4)
d   =  9/20   (V + v)     (5)
v   =  11/30  (N + n)    (6)
n   =  13/42  (T + t)      (7)

Tính T theo N từ 3 phương trình (1), (2) và (3):

T =  N + 5/6 D = N + 5/6 (N + 9/20 V)
=  11/6 N + 3/8 V
=  11/6 N + 3/8 (N + 13/42 T)
=  (11/6 + 3/8) N + (3/8 x 13/42) T
=  (53/24) N + (13/112) T

=>     T = (742/297) N             (10)

Vì T là số nguyên và 742 = 2x7x53 với  297 = 3³x11 không có ước số chung, nên:

=>     N phải là bội số của 297
=>     T  là bội số của 742

Theo (3), vì V là số nguyên và 13 với 42 không có ước số chung, nên:

=>     T phải là bội số của 42
=>     T phải là bội số chung của 742 = 2x7x53 và 42 = 2x3x7

Bội số chung nhỏ nhất của 742 và 42 là 2x3x7x53 = 2226

Đặt   T  = 2226k          (11)

(10)  => N = (297/742) x 2226k  =  891k       (12)

Thay trị số của T và N vào các phương trình (3) và (2), ta được:

=>  V =  1580k           (13)
D =  1602k            (14)

Tính t từ các phương trình (4), (5), (6) và (7):

12t       = 7D + 7d  =  7D + (7 x 9/20) (V + v)
240t    = 140D + 63V + 63v
=  140D + 63V + (63 x 11/30) (N + n)

2400t  = 1400D + 630V + 231N + (231 x 13/42) (T + t)
4800t  = 2800D + 1260V + 462N + 143T + 143t

=>  4657t  = 2800D + 1260V + 462N + 143T           (15)

Thay trị số của T, D, V và N vào (15):

4657t   =  (2800 x 1602 + 1260 x 1580 + 462 x 891 + 143 x 2226) k
=  7206360k

Để t là một số nguyên, k phải là một bội số của 4657

Để đơn giản, chọn k = 4657

=>  T  = 2226k  = 10366482   (16)
D = 1602k  =   7460514    (17)
V = 1580k  =   7358060    (18)
N = 891k    =   4149387     (19)

=>  t  =  7206360                    (20)

Thay trị số của t vào (7), (6) và (5), ta được:

n   =  (13/42) (10366482 + 7206360)
=  5439213                  (21)

v   =  (11/30) (4149387 + 5439213)
=  3515820                  (22)

d   =  (9/20) (7358060 + 3515820)
=  4893246                  (23)

Tóm lại, tổng số bò của 4 bầy bằng:

= (T + t) + (D + d)  + (V + v) + (N + n)
= (10366482 + 7206360) + (7460514 + 4893246)
+ (  7358060 + 3515820) + (4149387 + 5439213)

    =   50,389,082         (24)

Kết quả trên là trị số nhỏ nhất của đàn bò của Archimede! Đảo Tricarnia có một đàn bò hơn 50 triệu con như vậy là giàu lắm phải không các bạn?

Thuận Hoà