ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP033 – Ba chặng đuờng trên bàn cờ

 

Bàn cờ Tây gồm 64 ô tạo thành bởi 9 đường thẳng ngang và 9 đường thẳng dọc cách đều nhau. Các ô được tô màu sao cho 2 ô kề cận nhau có màu khác nhau, thường là trắng và đen như hình dưới đây:

 

 Nếu ta khởi hành từ một ô nào đó, đi 3 chặng đường trên bàn cờ theo đường thẳng ngang hoặc dọc, chặng thứ nhất X bước (mỗi bước là 1 ô), chặng thứ nhì Y bước, chặng thứ ba Z bước, để đi đến một ô cuối cùng, thì bạn sẽ thấy có tính chất sau đây:

Ô cuối cùng và ô đầu tiên có cùng hay khác màu tuỳ theo tổng số các bước X+Y+Z là một số chẳn hay lẻ.

Thí dụ, nếu ta khởi đi từ ô A có màu trắng, đi thẳng lên 2 bước đến ô B, quẹo phải, đi 3 bước đến ô C, sau cùng đi thẳng lên thêm 3 bước để đến ô cuối cùng D, thì ô D cũng có màu trắng như ô A vì 2+3+3 = 8 là một số chẳn.

Nếu ta khởi đi từ ô A’ có màu đen, đi ngang về phía tay mặt 3 bước đền ô B’, rồi đi lên 2 bước đến ô C’, sau cùng đi tiếp 2 bước nữa để đến ô D’, thì ô D’ không cùng màu với ô A vì
3+2+2 = 7 là một số lẻ.

Có một bài toán thú vị đặt ra như sau:

Trên bàn cờ, ta bắt đầu từ một ô M nào đó, đi 3 chặng đường để đến một ô N nào đó. Giả sử các bước X, Y và Z của 3 chặng đường nầy được xác định bằng trị số của một con quay có 3 mặt đánh số 1, 2 và 3 được quay 3 lần: lần thứ nhất cho số bước X, lần thứ nhì cho số bước Y và lần thứ ba cho số bước Z của 3 chặng đường.

Hỏi vậy, xác suất để ô bắt đầu M và ô cuối cùng N có cùng màu là bao nhiêu?

*    *    *

Bài toán nầy không đặt vấn đề hướng đi, đi lên, đi xuống, đi về bên trái hay bên phải, đểu được miễn là đi trên hàng dọc hay hàng ngang, và ô bắt đầu M và ô cuối cùng N nằm đâu cũng được, không cố định, miễn là phải cần 3 chặng đường mới đi được từ ô nầy đến ô kia.

Theo thí dụ trên, thì ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu (cùng màu đen hay cùng màu trắng) khi tổng số bước của 3 chặng đường là 1 số chẳn.

Mỗi lộ trình 3 chặng từ một ô nầy đến một ô kia, được xác định bằng 1 phân bố của 3 số 1, 2 và 3 xác định số bước trong mỗi chặng đường. Các số nầy có thể trùng nhau. Vậy, có bao nhiêu phân bố tất cả? Ta hãy tìm xem:

            111      222      333         (Cả 3 lần quay đều cho cùng một số)
            112      113      121      122      123      131      132      133
            211      212      213      221      223      231      232      233
            311      312      313      321      322      323      331      332     

Tóm lại: có 27 lộ trình có thể đi từ ô M đến ô N  bằng 3 chặng đường.

Để ý rằng mỗi lộ trình gồm 3 chặng đường xác định bằng số bước trong các chặng đó. Thí dụ,  312 xác định lộ trình 3 chặng mà chặng thứ nhất có 3 bước, X = 3, chặng thứ nhì 1 bước,
Y = 1, và chặng thứ ba 2 bước, Z = 2. Ta có X+Y+Z = 3+1+2 = 6 là số chẳn, nên theo lộ trình 312, thì ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu.

Vậy, trong số 27 lộ trình trên, có bao nhiêu lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng đường là một số chẳn, ta hãy tìm xem:

            222      112      121      123      132
            211      213      231      233      312
            321      323      332

13 lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng là một số chẳn. Dĩ nhiên, có 14 lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng là một số lẻ.

Tới đây, ta có thể suy ra kết luận:

Nếu đi từ một ô nầy đến một ô kia bằng một lộ trình có 3 chặng đường  mà số bước trong mỗi chặng ở trong khoản từ 1 đến 3, thì xác suất để ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu bằng

          13 / 27  ≈  0.48   hay   48%

Xác suất để ô bắt đầu và ô cuối cùng khác màu bằng  14/27 = 1 – 0.48 = 0. 52  hay  52%

*    *    *

Bây giờ, giả sử ta đi 2 lộ trình liên tiếp (mỗi lộ trình cũng có 3 chặng đường), lộ trình thứ nhất đi từ ô M đến ô N, lộ trình thứ hai đi từ ô N đến ô P, thì xác suất để ô bắt đầu M và ô cuối cùng P có cùng màu là bao nhiêu?

Có 2 trường hợp để ô bắt đầu M và ô cuối cùng P có cùng màu:

Trường hợp 1:  Hai ô M và N có cùng màu. Hai ô N và P có cùng màu.

 =>  Xác suất:  p1 = (13/27) x (13/27) = (13)2 / (27) 

Trường hợp 2:  Hai ô M và N khác màu. Hai ô N và P khác màu.

             => Xác suầt:  p2 = (14/27) x (14/27) = (14)2 / (27)2

Xác suất để hai ô M và P có cùng màu bằng:

            p  =  p1 + p2  =  [(13)2 + (14)2] / (27)2  ≈  0.50   hay  50%

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: