Đây là một bài toán vui hóc búa chung quanh các con số.

“Cho một số N gồm 10 con số khác nhau, từ 0 đến 9, con số đầu (từ trái sang phải) khác 0.
Gọi k là một số nguyên nhỏ hơn hay bằng 10. Tìm số N có tính chất như sau: số M gồm k con số đầu tiên của số N chia đúng cho k.”

Bài toán có thể diễn dịch rõ ràng như sau:

Số N:                               N =  a  b   c   d   e    f    g   h   i      j
Thứ tự các con số:               1  2   3   4   5   6    7   8   9   10

Điều kiện:      Các con số a, b, … , i, j  đều khác nhau và  a ≠ 0

k  ≤  10   =>  Số M gồm k con số đầu tiên chia đúng cho k,
thí dụ:  k = 4 => M = abcd  chia đúng cho 4

Trước khi giải bài toán trên, tác giả xin nhắc lại vài tính chất chia đúng đơn giản như sau:

–    Số chia đúng cho 2 khi số đó chẳn
–    Số chia đúng cho 10 khi tận cùng bằng 0
–    Số chia đúng cho 3 khi tổng số các con số chia đúng cho 3
–    Số chia đúng cho 4 khi số họp bởi 2 con số cuối chia đúng cho 4
–    Số chia đúng cho 5 khi tận cùng bằng 0 hay 5
–    Số chia đúng cho 8 khi chia đúng cho 2 và sau khi chia cho 2, thương số chia đúng cho 4
–    Số chia đúng cho 9 khi tổng số các con số chia đúng cho 9

Xin mời độc giả thử tự tìm một số N thoả những điều kiện đòi hỏi mà không cần phải chứng minh gì cả.

*    *    *

 Con số cuối cùng j của số N có thứ tự 10 nên N phải chia đúng cho 10

=>        j = 0

Số M = abcde, với con số e có thứ tự 5, nên M phải chia đúng cho 5

=>        M  phải tận cùng bằng 0 hay 5

Vì j đã bằng 0 nên  e = 5

 Các điều kiện khác:

M = ab,          k = 2    =>  b là số chẳn khác 0   =>  b = 2, 4, 6  hay  8   

M = abc,         k = 3    =>  M chia đúng cho 3   =>  a+b+c = bs3       (bội số của 3)

M = abcd,      k = 4    =>  M chia đúng cho 4. Số P = cd chia đúng cho 4 = bs4

M = abcdef,    k = 6    =>  M chia đúng cho 6  =>  M chia đúng cho 2 và 3

=>  f  là số chẳn và  a+b+c+d+e+f = bs3

=>  f = 2, 4, 6 hay 8 và f ≠ b   

Vì a+b+c = bs3          =>  d+e+f = bs3                                 

M = abcdefgh,   k = 8   =>  M chia đúng cho 8 = bs8
=>  M chia đúng cho 2 và sau khi chia cho 2, thương số chia
đúng   cho 4

=>  h = 2, 4, 6, 8     và      h ≠ b ≠ f

M = abcdefghi,   k = 9  =>  M chia đúng cho 9 = bs9
=>   a+b+c+d+e+f+g+h+i = bs9         

Trên đây là nhữnh điều kiện phải thoả của bài toán. Thêm những nhận xét sau đây:

• Con số thứ 10 bằng 0  =>  j = 0
• Con số thứ 5 bằng 5    =>  e = 5
• Các con số thứ 2, 4, 6 và thứ 8 phải chẳn  => b, d, f , h  chẳn
• Số  P = cd  chia đúng cho 4
• Số  M = abcdefgh sau khi chia cho 2, thương số chia cho 4
• Con số a là con số còn lại sau khi 9 con số b, c, d, … , i, j  đã biết.

Thật sự, tác giả không thấy có điều kiện chặt chẽ nào khác có thể giúp xác định được nhanh chóng các con số của số N.
Phươngpháp sau cùng là tìm cách thử các trường hợp khả hửu dựa vào những điều kiện đã biết. Tác giả tìm được số:

               N  =   3,816,547,290

Số N thoả các điều kiện đòi hỏi:

k = 1    M = 3  =  1 x 3
k = 2    M = 38  =  2 x 19
k = 3    M = 381  =  3 x 127
k = 4   M = 3,816  =  4 x 954
k = 5    M = 38,165  =  5 x 7,833
k = 6    M = 281,654  =  6 x 63,609
k = 7    M = 3,816,547  =  7 x 545,221
k = 8    M = 38,165,472  =  8 x 4,770,684
k = 9    M = 381,654,729  =  9 x 42,406,081
k = 10  M = 3,816,547,290  =  10 x 381,654,729

Tác giả không xác định số N tìm được là lời giải duy nhất của bài toán. Độc giả nào tìm được một lời giải khác, xin cho tác giả biết.

Thành thật cám ơn.

Thuận Hoà