ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP041 – Một phương trình bậc nhất 3 ẩn số

Độc giả chắc biết rằng bài toán n ẩn số chỉ giải được dễ dàng khi có một hệ thống n phương trình bậc nhất. Tuy nhiên, như tác giả có trình bày nhiều lần, với hệ thống một phương trình bậc nhất 2 ẩn số, lời giải có thể tìm được được nếu bài toán có thêm những điều kiện phụ như các hệ số và ẩn số của phương trình là những số nguyên (phương trình Diophantine). Bài toán “100 con trâu và 100 bó cỏ”, là một bài toán 3 ẩn số mà chỉ có 2 phương trình, giải được cũng nhờ điều kiện số nguyên của hệ số và ẩn số (xem “Bàn thêm về phương trình Diophantine” trong “Kết Quả Nghiên Cứu”)

Trong bài nầy, tác giả xin trình bày cùng độc giả một cách giải một bài toán 3 ẩn số mà chỉ có một phương trình bậc nhất. Bài toán như sau:

Thuở xưa, có một thời, 1 đồng tiền vàng có thể mua 8 con gà, 1 đồng tiền vàng có thể mua 1 con heo, nhưng phải 10 đồng tiền vàng mới mua được 1 con bò. Một ông chủ trại tiêu hết 100 đồng tiền vàng để mua gà, heo và bò. Hỏi vậy: ông chủ trại mua được bao nhiệu gà, heo và bò biết rằng đàn gà có đến hơn 60 con, đàn heo có đến hơn 20 con và đàn bò có đến hơn 6 con.

Mời độc giả thử tự giải bài toán trên trước khi đọc tiếp.

* * *

Gọi x, y và z lần lượt là số gà, heo và bò mà ông chủ trại đã mua. Ta có phương trình:

(x/8) + y + 10z = 100            (1)
hay: x + 8y + 80z = 800        (2)

Ta thử giải bài toán dựa vào những điều kiện sau đây:

Các ẩn số x, y và z là những số nguyên lớn hơn 0.

Số gà x phải là một bội số của 8

Đàn gà có đến hơn 60 con, đàn heo có đến hơn 20 con và đàn bò có đến hơn 6 con, nên ta có thể suy ra những điều kiện sau đây:

Nếu y = 20, z = 6 thì x = 800 – 640 = 160 => 60 < x ≤ 160       (3)
Nếu z = 6, x = 64 thì y = 100 – 68 = 32      =>  20 < y ≤ 32      (4)
Nếu x = 64, y = 20 thì z = (100 – 28) /10 = 7.2 => 6 < z ≤ 7     (5)

Điều kiện (5) chỉ nghiệm đúng khi  z = 7

Từ (2), suy ra:

x + 8y = 800 – 80z = 800 – 80 x 7
hay x + 8y = 240         (6)
=> y = 30 – (x/8)        (7)

x là bội số của 8, đặt x = 8t, t là số nguyên dương        (8)

Theo điều kiện (3):

60 < 8t  ≤ 160
hay   64 ≤   8t ≤ 160
hay     8 ≤    t   ≤ 20     (9)

(7) => y = 30 – t          (10)

Theo điều kiẹn (4):

20 ≤ 30 – t ≤ 32
hay 0 < t ≤ 10              (11)

Hai điều kiện (9) và (11) cùng được thoả khi
8 ≤ t ≤ 10                    (12)

Theo điều kiện (12), ta có 3 trường hợp sau đây:

t = 8 => x = 64 theo (8), y = 22 theo (10)
t = 9 => x = 72, y = 21
t = 10 => x = 80, y = 20

Tóm lại, bài toán có 3 lời giải là:

64 gà, 22 heo, 7 bò
72 gà, 21 heo, 7 bò
80 gà, 20 heo, 7 bò

*        *        *

Nhiều bài toán 3 ẩn số đơn giản có thể giải được dễ dàng chỉ bằng những lý luận thông thường, thí dụ như bài toán sau đây:

Thầy giáo An vào tiệm sách mua 3 loại sách có giá tiền là $22/1 cuốn, $26/1 cuốn và $30/1 cuốn. Thầy trả $100. Hỏi vậy thầy mua mỗi loại sách mấy cuốn?

Nếu dùng đại số, gọi x, y và z lần lượt là số sách $22/1 cuốn, $26/1 cuốn và $30/1 cuốn, thì ta phải giải phương trình 3 ẩn số:

                 22x + 26y + 30z = 100

Bài toán trên có thể giải chỉ bằng lý luận như sau:

Thầy An không thể mua 2 cuốn sách giá $30 vì nếu mua 2 cuốn $30 x 2 = $60 thì còn lại $40, không đủ để mua 1 cuốn sách $22 và 1 cuốn sách $26 (phải cần $48).

Vậy, thầy An chỉ có thể mua 1 cuốn sách $30, còn lại $100 – $30 = $70.

Nếu thầy An mua 2 cuốn sách $26 x 2 = $52 thì còn lại $70 – $52 = $18, không đủ để mua 1 cuốn sách $22.

Vậy, thầy An chỉ có thể mua 1 cuốn sách $26, còn lại $70 – $26 = $44

Còn $44, đó là giá của 2 cuốn sách $22.

Tóm lại, thầy An đã mua 1 cuốn sách $30, 1 cuốn sách $26 và 2 cuốn sách $22.

*        *        *

Sau đây là một bài toán 3 ẩn số dưới một dạng khác:

Một ông chủ trại đi chợ phiên mua lừa, trừu, dê và heo giá mỗi con lần lượt là $50, $35, $25 và $10. Về nhà, ông tính lại thì thấy trung bình ông đã chi $31 cho mỗi con vật. Hỏi vậy, ông chủ trại đã mua bao nhiêu vật mỗi loại?

Bài toán trên có thể giải chỉ bằng lý luận như sau:

Nếu mỗi loại, ông chủ trại chỉ mua 1 con thì tổng số tiền mua là:

                $50 + $35 + $25 + $10 = $120

Nếu như vậy thì giá trung bình của một đầu thú vật là $120/4 = $30 chớ không phải $31!

Chắc là ông chủ trại có mua loại gì đến 2 con, tổng số là 5 con và giá tổng cộng phải là:   

               $31 x 5 = $155

Số nầy nhiều hơn số tiền $120:    $155 – $120 = $35

Số tiền $35 nầy đúng là giá của 1 con trừu!

Như vậy: ông chủ trại đã mua đến 2 con trừu, tức là ông đã mua:

1 con lừa, 2 con trừu, 1 con dê và 1 con heo


Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: