ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP048 – Đôi nét về Toán học cỗ Hy lạp

 

Các nhà Toán học cỗ Hy lạp như Pythagoras, Aristotle, Anaxagoras, Euclid, Archimetes, Thales và Aristarchus, chuyên nghiên cứu trong lảnh vực hình học và dùng các phương pháp hình học để giải các bài toán mà ngày nay người ta giải bằng đại số. Mặc dầu những thiếu sót của hình học Euclide, nhiều phương pháp hồi đó vẫn còn được dùng đến ngày nay.

Công trình nổi bật của các nhà Toán học cỗ Hy lạp là sự thiết lập hệ thống những “định đề (postulate). Định đề là những phát biểu được chấp nhận không chứng minh. Từ những định đề, có thể suy ra những tính chất khác gọi là “định lý” (theorm) bằng lý luận (hay chứng minh).

Hai định đề thường biết đến của hình học Euclide là:

1)       Có thể vẽ một đường thẳng duy nhất qua 2 điểm khác nhau cho sẵn

2)      Có  thể vẽ được một vòng tròn với tâm là một điểm cho sẵn và bán kính là một độ dài cho sẵn

Đó là 2 định đề làm căn bản cho hình học Euclide. Với 2 định đề đó, các nhà Toán học cỗ Hy lạp có thể thực hiện được nhiều bài toán về hình vẽ, nhưng cũng thất bại trong một số bài toán khác. Họ có thể chia hai bất kỳ góc nào nhưng không thể chia ba một góc cho sẵn (phải hiểu là không thể dùng thước thẳng và compa để chia một góc làm 3 phần bằng nhau).  Mời xem thêm các Kết quả nghiên cứu KQNC12, KQNC13 và KQNC14 trong mục “Kết quả Nghiên cứu“. Họ có thể vẽ một hình vuông có diện tích gấp đôi diện tích của một hình vuông khác, nhưng không thể vẽ một khối lập phương có thể tích gắp đôi thể tích của một khối lập phương khác. Họ có thể vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một đa giác đều cho sẵn, nhưng không thể vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn cho sẵn.. Họ có thể vẽ một đa giác đều có 3, 4, 5, 6, 8 hay 10 cạnh, nhưng không thể vẽ một đa giác đều có 7 hay 9 cạnh. Trước cuối thế kỹ 19, các nhà Toán học đã giải thích được các bài toán không giải được đó (để ý rằng “giải thích” chớ không phải  “giải được” hay “vẽ được”).

Tại sao các nhà Toán học cỗ Hy lạp không giải thích được những bài toán không giải được của họ?

Lý do là vì họ chỉ chuyên chú vào hình học và không để ý đến đại số (hay vì đại số chưa phát triển kịp lúc).

Định lý Pythagore cho biết rằng nếu 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 1 thì độ dài của cạnh huyền bằng √2.  √2 là số thuộc loại thế nào? Thuở đó, các nhà Toán học Hy lạp chỉ diễn ta các kết quả bằng số nguyên. Phân số hay số hữu tỉ là những cặp số thứ tự, tức là những số có dạng a/b với a và b là hai số nguyên và b ≠ 0. Họ không thể diễn tả √2 bằng số nguyên. Như ta đã biết √2 là một số vô tỉ, một khái niệm toán học chỉ mới phát triển từ thế kỹ 19.

Khi muốn khai triển (a + b)2 , cac nhà Toán học cỗ Hy lạp làm theo kiểu hình học như sau:

Diện tích của hình vuông cạnh (a + b) bằng
tổng số diện tích của 2 hình vuông cạnh a và
hình vuông cạnh  b với diện tích của 2 hình chữ nhận cạnh a và b:

             (a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab
    =>    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 Sau đây là 2 bài toán đại số đơn giản giải bằng hình học thời cỗ Hy lạp:

Cho 3 đoạn thẳng có độ dài a, b và 1.

a)      Vẽ một đoạn thẳng có độ dài ab
b)      Vẽ một đoạn thẳng có độ dài a/b

Cách giải như sau:

a)      Trên 1 đường thẳng, vẽ đoạn CD = 1, DE = a.
Trên một đường thẳng khác pát xuất tại C, vẽ đoạn CF = b.
Từ điểm E, vẽ đường song song với DF, cắt đường thẳng qua F tại G.
FG lả đoạn thẳng có độ dài x = ab.

Thật vậy, theo tính chất của đường thẳng song song, ta có: 

b)   Trên 1 đường thẳng, vẻ đoạn CD = b, DE = a.
       Trên một đường thẳng khác pát xuất tại C,  vẽ đoạn CF = 1.
       Từ điểm E, vẽ đường song song với DF, cắt đường thẳng qua F tại G.
       FG lả đoạn thẳng có độ dài x = a / b

Thật vậy, theo tính chất của đường thẳng song song, ta có:

 

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: