ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP051 – Nghịch lý Bertrand


 

Joseph Louis François Bertrand  (1822 – 1900) là một nhà toán học Pháp,  chuyên nghiên cứu về  Lý thuyết số, Hình học vi tích, Lý thuyết xác suất, Kinh tế và Nhiệt động học.

Năm 1888, trong tác phẩm “Calcul des probabilités”  (Tính toán về xác suất), ông có đưa ra một thí dụ để dẩn chứng về tính bất định của xác suất  khi cơ cấu hay phương pháp để xác định các biến số thay đổi không được định nghĩa rõ ràng. Thí dụ đó về sau được gọi là “Nghịch lý Bertrand”. 

Nghịch lý Bertrand như sau:

“Xét một tam giác đều nội tiếp trong một vòng tròn. Giả sử có một dây cung (chord) của vòng tròn được chọn bất kỳ.Tìm xác suất để dây cung đó dài hơn cạnh của tam  giác.”

Xét tam giác đều ABC nội tiếp trong vòng tròn tâm O  và dây cung bất kỳ MN. Xác suất để dây cung MN dài hơn cạnh cuả tam giác ABC có thể tìm bằng 3 cách sau đây, tuỳ theo cách xét vị trí của dây cung bất kỳ MN.

Cách thứ nhất:  Dây cung xác định bằng 2 đầu

Dây cung bất kỳ MN xác định bằng 2 đầu M và N bất kỳ nằm trên vòng tròn. Muốn tính xác suất để dây cung MN dài hơn cạnh tam giác đều, tưởng tượng tam giác đểu ABC quay sao cho một đỉnh, thí dụ đỉnh A, trùng với một đầu của dây cung, thí dụ đầu N.
Dây cung có một đầu trùng với 1 đỉnh của tam giác và đầu kia di chuyển trên vòng tròn, thí dụ: đầu N của dây cung trùng với đỉnh A của tam giác và đầu M di chuyển trên vòng tròn.

Theo Hình 1, dây cung AM dài hơn cạnh tam giác đều (AB hay AC) khi đầu M nằm trên cung nhỏ BC. Dây AM ngắn hơn cạnh tam giác đều khi đầu M ở trên cung nhỏ AB hay cung nhỏ AC.

Trong 3 cung nhỏ BC, AB và AC, dây cung AM dài hơn cạnh tam giác đều khi đầu M ở trên một cung BC, nên có xác suất bằng 1/3.


Cách thứ hai:  Dây cung xác định bằng một điểm trên một bán kính vòng tròn
       

Chọn một bán kính của vòng tròn, thí dụ OR

Trên OR, chọn 1 điểm bất kỳ và vẽ một dây cung MN qua điểm đó và thẳng góc với OR.  Để tính được xác suất để dây cung dài hơn cạnh tam giác đều nội tiếp, tưởng tượng như tam giác đều ABC quay thế nào để có một cạnh, thí dụ cạnh BC, thẳng góc với bán kính OR (tại trung điểm của OR theo một tính chất hình học của tam giác đều).

 

Dây cung MN dài hơn BC, cạnh cuả tam giác đều, khi điểm bất kỳ đã chọn nằm gần điểm O, tâm của vòng tròn, hơn là giao điểm của cạnh tam giác đều với OR.

Vì  cạnh BC thẳng góc với bán kính OR tại trung điểm, hay chia bán kính OR làm 2 phần bằng nhau, nên xác suất để dây cung MN dài hơn cạnh tam giác đều là 1/2

 

Cách thứ ba:  Dây cung xác định bằng trung điểm

image006 Chọn 1 điểm bất kỳ nằm phía trong vòng tròn và xét dây cung MN của vòng tròn nhận điểm đó làm trung điểm.

Dây cung MN dài hơn cạnh của tam giác đều khi trung điểm của nó nằm bên trong một vòng tròn nhỏ đồng tâm với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và có bán kính bằng phân nửa bán kính của vòng tròn lớn. Vòng tròn nhỏ như vậy có diện tích bằng 1/4 diện tích của vòng tròn lớn.

Suy ra, xác suất để dây cung xác định bằng trung điểm dài hơn cạnh của tam giác đều bằng 1/4.

Xác  suất để một dây cung lớn hơn cạnh của một tam giác đều nội tiếp có đến 3 trị số 1/3,  1/2  và  1/4,  tuỳ theo cách xác định vị trí của dây cung bất kỳ.  Điều đó không thể chấp nhận được nên được cho là một nghịch lý.

 

Làm sao giải thích được nghịch lý Bertrand?

Sau đây là ý kiến riêng của Thuận Hoà.  Ta biết rắng các điểm trên vòng tròn là vô hạn, các điểm trên bán kính vòng tròn là vô hạn, các điểm trên mặt vòng tròn là vô hạn.  Trong 3 trường hợp trên, ta tính xác suất bằng cách thay thế tỉ số của 2 cái vô hạn bằng tỉ số của 2 cái hữu hạn. Tỉ số của 2 cái vô hạn (∞ / ∞) thì không xác định. Trong cách giải thứ nhất, ta đã tính tỉ số của độ dài của cung BC với độ dài của vòng tròn nên mới được kết quả 1/3. Nếu thay độ dài  bằng số điểm trên các đường cong đó, thì sẽ có dạng không xác định. Trong cách giải thứ ba, ta đã tính tỉ số diện tích cúa vòng tròn nhỏ với diện tích của vòng tròn lớn nên mới có kết quả 1/4. Nếu thay diện tích bằng số điểm trong 2 vòng tròn đó, thì sẽ có dạng không xác định.

Nếu ý kiến của Thuận Hoà đúng, thì lời giải cho bài toán nêu ra bởi Bertrand khộng thể gọi là một nghịch lý được! Có thể là ý kiến của Thuận Hoà chỉ đúng trong trường hợp nầy vì 3 cách giải trên đều đặt lý luận trên điểm (dây cung xác định bằng 2 điểm trên vòng tròn, bằng 1 điểm trên một bán kính vòng tròn, bằng trung điểm, …)

Thuận Hoà
Sydney 2012

 

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: