ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP053 – Hệ thống nhị phân và 2 bài toán vui

Hệ thống đếm mà chúng ta dùng hàng ngày là hệ thống thập phân hay hệ thống cơ số 10, được biểu diễn bằng 10 ký hiệu gọi là con số (hay chữ số) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và  9 và theo quy ước: nếu đi từ phải sang trái, thì giá trị của mỗi đơn vị của các cột lần lượt là 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102, 1000 = 103, 10000 = 104, vv ….(để ý: 100 = 1)

Thí dụ:  Xét số 25893. Con số 8 ở cột thứ 2 kể từ phải, cột thứ nhất là cột 0.  
Một đơn vị ở cột nầy có giá trị 102 = 100. Vậy, cột thứ hai kể từ phải của  số  25893 có giá trị là 8×102 = 8×100

Trong hệ thống thập phân, số 25893 có nghĩa là:
    25893  =  2×104 + 5×103 + 8×102 + 9×101+ 3×100  
               =  2×1000 + 5×1000 + 8×100 + 9×10 + 3×1

Để ý rằng nếu chia số 25893 cho 10, ta có dư số 3, thương số 2589; chia thương số 2589 cho 10, ta có dư số 9 và thương số 258, … cứ thế tiếp tục, ta thấy rằng các con số của số 25893, kể từ phải, lần lượt là dư số của các phép chia liên tiếp cho 10 bắt đầu từ số đó. Tổng quát, ta có tính chất quan trọng:

Trong hệ thống thập phân, các con số biểu diễn số N, kể từ phải, lần lượt là dư số của các phép chia liên tiếp cho 10 bắt đầu từ số N”.

Để ý rằng phếp chia liên tiếp chỉ ngừng lại khi có một thương số 0.

Tương tự như hệ thống thập phân, hệ thống nhị phân hay hệ thống cơ số 2, được biểu diễn bằng 2 con số 0 1 và theo quy ước: nếu đi từ phải sang trái, thì giá trị của mỗi đơn vị của các cột lần lượt là  1 = 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 =23, 16 = 24, vv….

Thí dụ:       Xét số 110101.  Xét con số 1 ở cột thứ 2 kể từ phải, cột thứ nhất là cột 0.  
Một đơn vị ở cột nầy có giá trị 22 = 4. Vậy, cột thứ hai kể từ phải của                         số  110101 có giá trị là 1×22 = 1×4

Trong hệ thống nhị phân, số 110101có nghĩa là:
              110101  =  1×25 + 1×24 + 0x23 + 1×22 + 0x21 + 1×20                              
                           =   1×32 + 1×16+ 0x8 + 1×4 + 0x2 + 1x 1
                           =   32 + 16 + 4 + 1 = 53

=>  Số nhị phân 110101 tương đương với số thập phân 53

Nói cách khác,Mọi số thập phân đều có thể biểu diễn bằng những luỹ thừa của 2”.

Thí dụ:        5 = 22 + 20;  12 = 23 + 22;   27= 24 + 23 + 21 + 20.

Tương tự như trong hệ thống thập phân, ta có tính chất:

Trong hệ thống nhị phân, các con số biểu diễn số N, kể từ phải, lần lượt là dư số của các phép chia liên tiếp cho 2 bắt đầu từ số N.” 

Phép chia liên tiếp ngừng lại khi có thương số 0.

Thí dụ:   Để viết số thập phân N = 45 trong hệ thống nhị phân, ta có thể làm các phép chia  liên tiếp cho 2 như sau:

 

 =>   Số thập phân 45 tương đương với số nhị phân 101101

Ta viết:          (45)10 =  (101101)2

Hệ thống nhị phân càng ngày càng  có vai trò quan trọng vì được sử dụng để biểu diễn các số trong máy điện toán.

*    *    *

Hệ thống nhị phân liên quan đến 2 bài bài toán vui dưới đây.

Bài toán 1:

Một khách buôn lỡ đường xin vào trọ ở một lữ quán trong nguyên tháng chạp. Ông không còn tiền mặt vì chưa kịp thâu tiền của các người thiếu nợ ông. Ông chỉ có một thanh bạc dài 31cm mang theo mình để hộ thân. Ông năn nỉ bà chủ quán và được bà chủ chấp nhận với điều kiện là mỗi ngày ông phải trả cho bà 1cm của thanh bạc mà ông có. Bà đòi ông phải trả ngay mỗi ngày, không đợi đến khi về mới thanh toán. Bà hứa sẽ trả lại tất cả các thỏi bạc cho ông khi ông trả đủ tiền trọ cho bà. Ông khách buôn bất đắc dĩ phải bằng lòng và nghĩ cách phải cắt thanh bạc thế nào thành ít thỏi nhất mà vẫn thoả mản được đòi hỏi của bà chủ quán.

Mời độc giả suy nghĩ xem có cách nào cắt thanh bạc hay nhất khộng? Lẽ dĩ nhiên, cắt thanh bạc 31cm thành 31 thỏi 1cm để trả cho bà chủ quán trong 31 ngày của tháng chạp không phải là lời giải hay nhất! Bây giờ, mời độc giả thử suy nghĩ như thế nầy xem sao.

Ngày thứ nhất, cần 1cm bạc   =>  Cắt 1 thỏi 1cm đưa cho bà chủ
Ngày thứ hai, cần 2cm bạc     =>  Cắt 1 thỏi 2cm đưa cho bà chủ, xin lại thỏi 1cm
Ngày thứ ba, không cần cắt    =>  Đưa thêm bà chủ thỏi 1cm
Ngày thứ tư, cần 4cm bạc      =>  Cắt 1 thỏi 4cm đưa cho bà chủ, xin lại thỏi 1cm và thỏi 2cm
                                                 (Phải cắt vì các thỏi đã cắt không thể hợp lại bằng 4cm)
Ngày thứ  năm, cần 5cm bạc  =>  Đưa thêm bà chủ thỏi 1cm
Ngày thứ sáu, cần 6cm bạc    =>  Đưa bà chủ thỏi 2cm, xin lại thỏi 1cm
Ngày thứ bảy, cần 7cm bạc    =>  Đưa thêm bà chủ thỏi 1cm
Ngày thứ tám, cần 8cm bạc    => Cắt 1 thỏi 8cm đưa cho bà chủ, xin lại 3 thòi 1cm, 2cm 
                                                 và 4cm
                                                 (Phải cắt vì các thỏi đã cắt 1cm, 2cm, 4cm không thể
                                                  hợp lại bằng 8cm)

Tới đây, có 4 thỏi bạc đã cắt là 1cm, 2cm, 4cm, 8cm. Đó là các số 20, 21, 22 và 23!  Lý luận tiếp tục, độc giả có thể đoán được là thỏi bạc cắt kế tiếp là 16cm. Đó là số 24.

Tóm lại,  ông khách buôn phải cắt thanh bạc dài 31cm của mình thành 5 thỏi nhỏ dài  1cm, 2cm, 4cm, 8cm và 16cm.  

Bài toán có thể giải nhanh chóng hơn bằng cách biểu diễn số 31 bằng những luỹ thừa của 2, nói cách khác, biểu diễn số 31 trong hệ thống nhị phân (bằng cách chia liên tiếp cho 2):
          31 = 2 x 15 + 1;  15 = 2 x 7 + 1;  7 = 2 x 3 + 1;  3 = 2 x 1 + 1;  1 = 2 x 0 + 1
=>     31  được biểu diễn là  11111 trong hệ thống nhị phân
=>     31 = 24 + 23 + 22 + 21 + 20  = 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Với 5 số 1, 2, 4, 8 và 16, ta có thể kết hợp lại để có số 31 hay bất kỳ số nào từ 1 đến 31.
Thí dụ: 7 = 4 + 2 + 1;  15 = 8 + 4 + 2 + 1; 27 = 16 + 8 + 2 + 1, …

Dĩ nhiên, ông khách buôn phải cắt thanh bạc dài 31cm thành 5 thỏi bạc 1cm, 2cm, 4cm, 8cm và 16cm là cách hay nhất!

Bài toán 2:

Một ông chủ tiệm kim hoàn có một cân bàn 2 dĩa. Ông muốn làm một số quả cân để có thể cân bất cứ vật gì nặng từ 1 đến 100 gram. Hỏi vậy ông phải làm các quả cân như thế nào?

Ta biết rằng mọi số thập phân có thể được biểu diễn bằng tổng số những luỹ thừa của 2:  20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8,  …

Thí dụ: 15 = 8 + 4 + 2 + 1 = 24 + 22 + 21 + 20, vv …

Nóì cách khác, mọi số thập phân có thể biểu diễn dưới dạng số nhị phân.

Biểu diễn 100 trong hệ thống nhị phân, ta được:

            100 = 64 + 32 + 4  = 26 + 25 + 22 = 1×26 + 1×25 +0x24 + 0x23 + 1×22 + 0x21 + 0 20
= >       (100)10 =  (1100100)2

Luỹ thừa của 2 nhỏ hơn 100 có số mũ lớn nhất là 6. Như vậy, mọi số nhỏ hơn hay bằng 100 đều có thể viết là tổng số của của những luỹ thừa của 2 có số mũ nhỏ hơn hay bằng 6.

Tóm lại: Để cân mọi vật trong khoảng 1ừ 1 đến 100g, ông chủ tiệm cần có 6 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1g, 2g, 4g, 8g, 16g, 32g và 64g.

Thật ra, với 6 quả cân đó, ông chủ tiệm có thể cân mọi vật nặng đến
127g  (= 27 – 1)


Thuận Hoà

5 Responses to “CP053 – Hệ thống nhị phân và 2 bài toán vui”

  1. Excellent post at CP053 – Hệ thống nhị phân và 2 bài toán vui ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ. I was checking constantly this blog and I am impressed! Very helpful information specially the last part 🙂 I care for such info a lot. I was seeking this certain info for a very long time. Thank you and good luck.

  2. Excellent post at CP053 – Hệ thống nhị phân và 2 bài toán vui ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ. I was checking constantly this blog and I’m impressed! Extremely useful information specifically the last part 🙂 I care for such info much. I was seeking this certain information for a very long time. Thank you and best of luck.

  3. untue said

    CP053 – Hệ thống nhị phân và 2 bài toán vui ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ Very nice post. I just stumbled upon your blog and wanted to say that I’ve really enjoyed browsing your blog posts. After all I will be subscribing to your feed and I hope you write again very soon!

  4. Nguyễn Việt Sơn said

    Bài viết rất lý thú và dễ hiểu. Có hai đề nghị:

    1. Nếu được nên cho một thí dụ về số thập phân. Thí dụ 101,15 = 1×10^2 + 0 x10^1 + 1×10^0 + 1×10^-1 + 5 x 10^-2

    2. Thêm phần về hệ số 16.

    • thuanhoa said

      Kính gởi ông Sơn,
      Thuân Hoà xin cám ơn ông đã đóng góp ý kiến cho bài nầy. Nếu tinh ý, chắc ông cũng thấy được mục đích chính của bài nầy là để giới thiệu 2 bài toán vui mà lời giải liên quan đến hệ thống nhị phân. Đó là lý do bài viết phải nói đến hệ thống nhị phân. Mà muốn hiểu hệ thống nhị phân thì phải nhắc lại hệ thống thập phân. Đó là lý do bài viết nầy không đi sâu vào chi tiết của các hệ thống cơ số khác, thí dụ cơ số 16. Tuy nhiên, nếu hiểu được nguyên tắc của hệ thống thập phân và nhị phân, độc giả có thể tự suy ra nguyên tắc tương tự của các hệ thống cơ số khác. Mong ông hiểu cho thiện ý của tác giả.
      Mong ông tiếp tục đọc và đóng góp ý kiến cho blog “Đọc Vui và Suy Nghĩ”. Chúc ông vạn sự như ý.
      Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: