ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP058 – Nghịch lý Petersburg

Vào thế kỹ thứ 18, thủ đô St. Petersburg của nước Nga là một trung tâm qui tụ  nhiều nhà toán học nổi tiếng, trong đó có hai nhà toán học Thụy sĩ Nicholas và Daniel Bernoulli. Trong lúc làm việc tại đó, hai ông đã khám phá ra được một vấn đề liên quan đến xác suất và chuổi vô hạn, mà sau nầy thường được gọi là “Ngịch lý Petersburg” (Petersburg paradox).

Nhà toán học cùng thời Jean Le Rond d’Alembert cho Nghịch lý Petersburg là một chuyện động trời (scandal) và phải có một cái gì đó sai về xác suất mới tạo được một nghịch lý như vậy!

Một dạng đơn giản của Nghịch lý Petersburg có thể được thấy qua câu chuyện như sau:

Tại một hội chợ nọ, già An có một quày, bày một trò chơi Hình Chữ bằng cách tung một đồng tiền lên cao bằng một máy đẩy tự động. Tiền vé của mỗi lần chơi tỉ lệ với số lần máy tung tiền mà khách muốn. Mỗl lần tung tiền là 50 xu. Thí dụ, khách muốn máy tung tiền 10 lần thì khách phải mua vé 5 đồng.

Để chứng minh rằng trò chơi nầy hoàn toàn công bình, chỉ dựa vào vận may rủi của khách, già An luôn miệng giải thích cho khách như thế nầy:
Nếu khách mua vé 50 xu, thì đồng tiền sẽ được tung lên 1 lần. Nếu mặt Hình có được, thì khách được 1 đồng tiền thưởng. Vậy là huề! Nhưng già không nói tiếp là nếu mặt Chữ thì khách mất 50 xu, tức là già An chỉ có huề hay thắng chớ không thua!

Nếu khách mua vé 1 đồng, thì đồng tiền sẽ được tung lên tối đa 2 lần. Các trường hợp có thể xảy ra như sau:

Lần tung thứ nhất:
Hình           Tiền thưởng: $1                  Ngưng – Huề
Chữ                                                        Tiếp tục lần tung thứ hai

Lần tung thứ hai:
Hình           Tiền thưởng: $2                  Ngưng – Khách lời $1
Chữ                                                        Ngưng – Khách mất $1

Để dụ khách, già An còn đưa ra những giải thưởng hấp dẩn như: nếu khách mua vé 10 đồng, sẽ được tối đa 10 lần tung đồng tiền, nếu mặt Hình xảy ra ở lần tung thứ 9 thì tiền thưởng là 512 đồng, còn ở lần tung thứ 10, thì tiền thưởng lên đến 1,024 đồng!

Độc giả có thể nêu câu hỏi là trò chơi của già An nghịch lý ở chỗ nào? Các nhà toán học có những giải thích phức tạp qua những chuổi vô hạn của các lần tung, của tiền vé và của phần thưởng. Ở đây, tác giả xin miễn bàn đến những khài niệm phức tạp đó.

Trước khi tiếp tục xét đến vai trò của xác suất trong trò chơi của già An, mời độc giả xét thêm trường hợp thứ ba khi khách tham dự với vé $1.50, tức là với tối đa 3 lần tung đồng tiền:

Lần tung thứ nhất:
Hình        Tiền thưởng: $1                  Ngưng – Khách mất $0.50
Chữ                                                     Tiếp tục lần tung thứ hai

Lần tung thứ hai:
Hình         Tiền thưởng: $2                 Ngưng – Khách lời $0.50
Chữ                                                     Tiếp tục lần tung thứ ba

Lần tung thứ ba:
Hình        Tiền thưởng: $4                  Ngưng – Khách lời $2.50
Chữ                                                     Ngưng – Khách mất $1.50

Ba trường hơp đã xét với 3 vé $0.50, 1$ và $1.50 dễ gây cho ta cảm tưởng là trò chơi của già An rất công bình, chỉ dựa và vận may rủi của khách chơi mà thôi. Nhưng sự thật có phải vậy không? Có lẽ ta phải vận dụng đến xác suất để tìm hiểu thêm.

*      *      *

Độc giả có thể dễ dàng thấy được là khách chơi chỉ thắng lớn khi mặt Hình có được ở một lần tung thích hợp nào đó mà thôi. Nếu mặt Hình có được ngay lần tung đầu tiên thì lần chơi kết thúc và khách chỉ có thua!

Trong phần nầy, ta xét trường hợp khách tham dự trò chơi của già An với vé $5.00, tức là với tối đa 10 lần tung đồng tiền.
Xác suất để có mặt Hình ở lần tung thứ nhất là 1/2, lần tung thứ hai là 1/22 = 1/4, lần tung thứ ba là 1/23 = 1/8, …. , lần tung thứ n là 1/2n.

Vậy, xác suất để có mặt Hình ở lần tung thứ nhất hay lần tung thứ hai, hay lần tung thứ ba, …. , hay lần tung thứ n bằng:

              1/2 + 1/4 + 1/8 + …. + 1/2n

Theo Bảng Tiền thưởng và Thứ tự lần tung (Hình 2), thì khách chơi phải mất tiền khi mặt Hình xảy ra ở lần tung thứ nhất, thứ nhì hay thứ ba (tiền thưởng $1, $2 hay $4).
Xác suất để mặt Hình xảy ra ở lần tung thứ nhất, thứ nhì hay thứ ba bằng:

              1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8     hay     87.50%

Điều đó có nghĩa là khách có 87.50% trường hợp mất tiền và chí có 100% – 87.50% = 12.50%  là được tiền, tức là trường hợp khách mất tiền nhiều gấp 7 lần trường hợp khách được tiền. Kết quả nầy hoàn toàn khác, nếu có thể nói là ngược lại, với nhận xét từng trường hợp một ở phần trên.

Tóm lại, trò chơi của già An, nếu nhìn qua những bảng ghi tiền vé và tiền thưởng, hay nếu nghe những lời giải thích của ông già, thì ai cũng cho đó là một trò chơi công bình, sự thắng thua chỉ do vận may rủi của khách chơi mà thôi. Thực sự, xác suất đã cho thấy đó là một trò chơi không công bình và phần thắng nghiêng về phiá ông già đến 87.50%.

Hi vọng rằng thí dụ về trò chơi của già An giải thích được phần nào Nghịch lý Petersburg!

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: