ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP063 – 1 4 9 16 rồi sao nữa ?

 

Nếu bạn phải trả lời 2 câu hỏi:

a) Tìm 2 số chưa biết của dãy số:      1    4     9     16     ?       ?             (1)
b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy số trên

thì bạn phải làm sao?

Trước hết, bạn có thể tìm lời giải cho câu hỏi thứ nhất bằng cách lý luận như sau:

1 + 3 = 4,    4 + 5 = 9,      9 + 7 = 16, ….

Số kế tiếp của một số bằng số đó cộng với một sồ lẻ kế tiếp trong dãy số:

3     5     7     9     11 …                   (2)

Vì số lẻ kế tiếp số 7 trong dãy số (2) là số 9, nên số kế tiếp của 16 trong câu hỏi phải là  16 + 9 = 25.

Số lẻ kế tiếp của 9 là 11, nên số kế tiếp của 25 là 25 + 11 = 36.

Kết quả 25 và 36 là đúng nhưng không biết quy tắc ‘cộng thêm số lẻ kế tiếp …’ có luôn luôn đúng hay không?

Thật ra, (1) là dãy số các bình phương của các số nguyên liên tiếp kể từ 1

12      22       32     42      52      62 ……….            (3)

Vậy 2 số phải tìm trong câu hỏi thứ nhất là    52 = 25   và   62 = 36.

Như vậy thì, số hạng thứ 100 của dãy số (1), cũng là của dãy số (3) phải là

1002 = 10,000

Độc giả cũng có thể tìm được kết quả nầy bằng cách tiếp tục áp dụng quy tắc ‘cộng thêm số lẻ kế tiếp’ như trên.

Thật vậy:

Số hạng thứ 2 = Số hạng thứ nhất + 3
Số hạng thứ 3 = Số hạng thứ 2 + 5 = Số hạng thứ nhất + (3 + 5)
(Để ý rằng 5 = 3 x 2 – 1)
Số hạng thứ 4 = Số hạng thứ 3 + 7 = Số hạng thứ nhất + (3 + 5 + 7)
(Để ý rằng 7 = 4 x 2 – 1)
. . . . . .

Số hạng thứ 100 = Số hạng thứ nhất + [3 + 5 + 7 + …. + (100 x 2 – 1)]
= 1 + (3 + 5 + 7 + …. + 199)

Để ý rằng 1 + 199 = 3 + 197 = 5 + 195 = . . . . = 200 và có 50 cặp số như thế.

Suy ra: Số hạng thứ 100 của dãy số (1) bằng 50 x 200 = 10,000.

Trở lại quy tắc ‘Mỗi số hạng kế tiếp một số trong dãy số (1), hay (3), bằng số đó cộng với số lẻ kế tiếp trong dãy số (2)’, ta có thể chứng minh như sau:

Xét 3 số hạng liên tiếp trong dãy số (3), thí dụ: A = (2n)2, B = (2n+1)2 và C = (2n+2)2.   Ta có:

B – A = (2n + 1)2 – (2n)2 = 4n2 + 4n + 1 – 4n2  =  4n + 1
C – B = (2n + 2)2 – (2n + 1)2 = 4n2 + 8n + 4 – 4n2 – 4n – 1  =  4n + 3

(4n + 1) và (4n + 3) là 2 số lẻ liên tiếp. Vậy, trong dãy số (3), số hạng B liên tiếp của số A bằng số A cộng với số lẻ (4n + 1); và số C liên tiếp của số B bằng số B cộng với số lẻ liên tiếp (4n + 3) của (4n + 1).

*       *        *

Có một bài toán vui liên quan đến dãy số (1) như sau:

“Có tất cả bao nhiêu hình vuông trên bàn cờ Tây (hình vuông với 32 ô đen và 32 ô trắng như hình dưới đây) ?”

Lời giải:     Số các hình vuông như sau:

1   hình vuông lớn nhất, kích thước 8×8
4   hình vuông kích thước 7×7
9   hình vuông kích thước 6×6
16 hình vuông kích thước 5×5
25 hình vuông kích thước 4×4
36 hình vuông kích thước 3×3
49 hình vuông kích thước 2×2
64 hình vuông kích thước 1×1

Tổng cộng: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 =  204   hình vuông
Điều thích thú đó là tổng số bình phương của các số từ 1 đến 8.

Số hình vuông = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82  =  204

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: