Mục “Chuyện Phiếm Khoa Học” đã trình bày cùng độc giả nhiều bài toán cộng mẫu tự, như dưới đây:

CP028:    SEND + MORE = MONEY

CP034:    ONE + ONE = TWO

CP057:    SEVEN + EIGHT = TWELVE

CP074:    DONALD + GERALD = ROBERT

Một loại toán mẫu tự khó hơn là “Toán nhân mẫu tự“. Để thấy rõ sự khó khăn khi giải một bài toán nhân mẫu tự, Thuận Hoà mời độc giả cùng giải bài toán sau đây:

 
Bài tính nhân trên tương đương với một hệ thống có 7 ẩn số a, b, c, d, e, f và g thoả các phương trình sau đây:

8b = g                                                      (1)
8a + bc + (số giữ nếu có) = f                (2)
16 + ca + (số giữ nếu có) = e                (3)
2c + (số giữ nếu có) = d                        (4)

Hệ thức (1) được nghiệm đúng trong các trường hợp sau đây:

1) b = 3, g = 4, số giữ = 2          (1.1)
2) b = 7, g = 6, số giữ = 5          (1.2)

Xét trường hợp 1.1: b = 3, g = 4, số giữ = 2. Các số chưa dùng: 1, 5, 6, 7, 9

(2) => f = 8a + 3c + 2

=> a = 1 => f = 3c + 10. Số chưa dùng: 5, 6, 7, 9

c = 5, f = 5; c = 6, f = 8 => không nhận

c = 7, f = 1, số giữ 3=> nhận được. Số chưa dùng: 5, 6, 9

(3) => 16 + 7 + 3 = e => e = 6, số giữ = 2 => nhận được. Số chưa dùng: 5, 9

(4) => 2c + số giữ = d => d = 14 + 2 = 16 => không nhận

c = 9, f = 7, số giữ = 3 => nhận được. Số chưa dùng: 5, 6

(3) => 16 + 9 + 3 = e => e = 8 => không nhận

=> a = 5 => f = 3c + 42. Số chưa dùng: 1, 6, 7, 9

c = 6, f = 0; c = 7, f = 3; c = 9, f = 9 => không nhận

c = 1, f = 5, số giữ 4 => nhận được. Số chưa dùng: 6, 7, 9

(3) => 16 + 5 + 4 = e => e = 5 => không nhận

=> a = 6 => f = 3c + 50. Số chưa dùng: 1, 5, 7, 9

c = 1, f = 3; c = 5, f = 5=> không nhận

c = 7, f = 1, số giữ 7 => nhận được. Số chưa dùng: 5, 9

(3) => 16 + 42 + 7 = e => e = 5, số giữ 6 => nhận được. Số chưa dùng: 9

(4) => 2c + số giữ = d => d = 14 + 6 = 20 => không nhận

=> a = 7 => f = 3c + 58. Số chưa dùng: 1, 5, 6, 9

c = 1, f = 1; c = 5, f = 3; c = 6, f = 6 => không nhận

c = 9, f = 5, số giữ 8 => nhận được. Số chưa dùng: 1,6

(3) => 16 + 63 + 8 = e => e = 7 => không nhận

=> a = 9 => f = 3c + 74. Số chưa dùng: 1, 5, 6, 7

c = 5, f = 9; c = 6, f = 2 => không nhận

c = 1, f = 7, số giữ 7 => nhận được. Số chưa dùng: 5, 6

(3) => 16 + 9 + 7 = e => e = 2 => không nhận

c = 7, f = 5, số giữ 9 => nhận được. Số chưa dùng: 1, 6

(3) => 16 + 63 + 9 = d => d = 8 => không nhận

Xét trường hợp 1.2: b = 7, g = 6, số giữ = 5 . Các số chưa dùng: 1, 3, 4, 5, 9

(2) => f = 8a + 7c + 5

=> a = 1 => f = 7c + 13. Số chưa dùng: 3, 4, 5, 9

c = 4, f = 1; c = 5, f = 8; c = 9, f = 6 => không nhận

c = 3, f = 4, số giữ 3=> nhận được. Số chưa dùng: 5, 9

(3) => 16 + 3 + 3 = e => e = 2 => không nhận

=> a = 3 => f = 7c + 29. Số chưa dùng: 1, 4, 5, 9

c = 1, f = 6; c = 4, f = 7; c = 9, f = 2 => không nhận

c = 5, f = 4, số giữ 6 => nhận được. Số chưa dùng: 1, 9

(3) => 16 + 15 + 6 = e => e = 7 => không nhận

=> a = 4 => f = 7c + 37. Số chưa dùng: 1, 3, 5, 9

c = 1, f = 4; c = 3, f = 8; c = 5, f = 2; c = 9, f = 0 => không nhận

=> a = 5 => f = 7c + 45. Số chưa dùng: 1, 3, 4, 9

c = 1, f = 2; c = 3, f = 6; c = 9, f = 2 => không nhận

c = 4, f = 3, số giữ 7 => nhận được. Số chưa dùng: 1, 9

(3) => 16 + 20 + 7 = e => e = 3 => không nhận

=> a = 9 => f = 7c + 77. Số chưa dùng: 1, 3, 4, 5

c = 3, f = 8; c = 5, f = 2 => không nhận

c = 1, f = 4, số giữ 8 => nhận được. Số chưa dùng: 3, 5

(3) => 16 + 9 + 8 = e => e = 3, số giữ 3 => nhận được. Số chưa dùng: 5

(4) => 2c + số giữ = d => d = 2 + 3 = 5 => d = 5 => nhận được

Một lời giải là:               297 x 18 = 5346

c = 4, f = 5, số giữ 10 => nhận được. Số chưa dùng: 1,3
(3) => 16 + 36 + 10 = e => e = 2 => không nhận

 
Tóm lại: Bài tính “2ab x c8 = defg” có một lời giải duy nhất là: 297 x 18 = 5346

Thuận Hoà