Tiệm hớt tóc Hiệp Thành ở quận 6, Saigon có 3 người thợ, gồm có già An, ông chủ, và 2 người thợ trẻ Bình và Cang. Già An hớt tóc rất đẹp, đã có 30 năm kinh nghiệm trong nghề, rất được lòng những người lớn tuổi trong quận. Bình và Cang là anh em ruột, Bình đã có 10 năm trong nghề nhưng Cang mới tròn 1 năm.

Hôm nọ, già Nam và già Xuân cùng đi dạo phố trong quận, thì già Nam chợt thấy tóc mình hơi dài và muốn ghé tiệm hớt tóc. Đã nhiều năm nay, già Nam luôn luôn hớt tóc tại tiệm Hiệp Thành và chỉ chịu để ông chủ tiệm già An hớt tóc cho mình. Già Nam bèn nêu thắc mắc với già Xuân: “Không biết hôm nay ông chủ tiệm có mặt hay không?”. Già Xuân, tỏ ra sành sỏi giải thích: “Tôi biết chắc chắn là không bao giờ 3 người thợ cùng có mặt trong tiệm nhưng luôn luôn có ít nhất một người thợ có mặt và ông chủ già An chắc chắn phải có mặt”. Già Nam hỏi lại: “Tôi đồng ý là không có 3 người thợ có mặt trong tiệm nhưng luôn luôn có ít nhất 1 người thợ trong tiệm, nhưng làm sao bác chắc chắn là ông chủ già An có mặt?”. Già Xuân bèn trổ tài lý luận ra để giải thích với già Nam là tại sao ông chủ già An phải có mặt trong tiệm. Tỏ ra hiểu biết nhiều chi tiết, từ khả năng đến tính tình của các người thợ trong tiệm Hiệp Thành, ông giải thích:

–   Thí dụ ông chủ già An ra ngoài. Nếu già An ra ngoài, thì nếu Bình cũng ra ngoài thì Cang phải ở lại trong tiệm, vì phải có ít nhất một người thợ trong tiệm.
Tuy nhiên, tôi biết lúc nào Bình ra ngoài, cậu ta cũng kéo luôn thằng em đi theo, nên tôi có thể nói là: khi Bình ra ngoài thì Cang cũng ra ngoài.
Như vậy, nếu ông chủ già An ra ngoài, thì 2 vế “Nếu Bình ra ngoài thì Cang ở lại trong tiệm” và “Nếu Bình ra ngoài thì Cang cũng ra ngoài” không thể cùng đúng một lúc. Như vậy, giả thiết “Ông chủ già An ra ngoài” là không chấp nhận được. Nói khác đi, ông chủ già An phải có mặt trong tiệm!.

Lý luận của già Xuân nghe hợp lý quá! Già Nam nghĩ vậy.

Nhưng thực tế thì ai cũng biết được là già An muốn ra ngoài lúc nào mà chả được! Thật là nghịch lý!

Sự nghịch lý đó được gọi là “Nghịch lý của tiệm hớt tóc” (Barbershop paradox), được viết lại gọn gàng như sau”

Nếu già An ra ngoài thì nếu Bình ra ngoài thì Cang ở lại trong tiệm.
Nếu Bình ra ngoài thì Cang cũng ra ngoài.
= >   già An không ra ngoài (hay ở lại tiệm)

Nghịch lý nầy được đề nghị bởi Lewis Caroll trong một bài luận 3 trang có tựa là “A Logical Paradox”, xuất hiện trong số tháng 7 năm 1894 của tạp chí “Mind”. Tác giả đã mượn một câu chuyện trong một tiệm hớt tóc để giải thích lý luận của mình. Theo nguyên bản, Carr, Allen và Brown là tên của 3 thợ hớt tóc, lần lượt được thay bằng 3 tên An, Bình và Cang trong bài viết nầy.

Dưới dạng toán học, nếu gọi A: An ra ngoài, B: Bình ra ngoài, C: Cang ra ngoài,
không–C: C không ra ngoài, không–A: A không ra ngoài, thì nghịch lý có thể viết lại như sau:

(1)   Nếu A, thì Z (nếu A đúng thì Z đúng)
(2)   Z: nếu B thì không–C (nếu B đúng thì C sai)
(3)   Nếu B thì C (nếu B đúng thì C đúng)
= > (4) không–A (A sai)

Hai điều kiện (2) và (3) không thể đúng cùng một lúc => (1) không chấp nhận được
=> Giả thiết ngược lại (4) phải đúng, tức là A sai hay A không ra ngoài.

Thật ra, già An có thể ra ngoài nếu Bình ở lại trong tiệm vì điều kiện (2) “Nếu Bình ở lại thì Cang ở lại” và điều kiện (3) “Nếu Bình ra ngoài thì Cang ra ra ngoài” không có gì mâu thuẩn.
Như vậy thì 2 điều kiện (2) và (3) chấp nhận được hay không tùy theo B sai (Bình ở lại) hay B đúng (Bình ra ngoài). Đó là lý do khiến nhiều người cho là “nghịch lý tiệm hớt tóc” thật sự
không phải là một nghịch lý.

Một trường hợp hình học tương tự:

Xét hình bên cạnh với 3 điều kiện A, B và C như trong hình:

Nếu KL và MN không bằng nhau, thì nếu 2 điểm K và N trùng nhau thì góc a không bằng góc b.

Nếu 2 điểm K và N trùng nhau thì góc a bằng góc b.

Hay:

1) Nếu C thì Nếu A thì không-B
2) Nếu A thì B

Theo nghịch lý của tiệm hớt tóc, theo 2 phát biểu 1), 2) thì C sai hay không-C đúng, tức là KL và NM phải bằng nhau.
Theo chú thích của Caroll, phát biểu 1) được nghiệm đúng do tính chất của tam giác bất kỳ, phát biểu 2) không có gì phải chứng minh.
Sau cùng thì 2 góc a và b bằng nhau là cho sẵn dù cho K và N có trùng nhau hay không. KL và MN không bằng nhau khi K và N không trùng nhau dù 2 góc a và b có bằng nhau hay không. Nói khác đi, (1) và (2) không loại trừ trường hợp KL và NM không bằng nhau (Điều kiện C). KL và NM bằng nhau (Điều kiện không-C) không phải là do 1) và 2) gây ra.

Thuận Hoà