ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP101 – Một bài toán hay (1)



Có nhiều bài toán mới nhìn qua tưởng dễ, đọc kỹ hơn thì nghĩ rằng bài toán không đủ giả thiết để giải, nhưng thật sự bài toán giải được!. Sau đây là một thí dụ:

“Tính diện tích của một tam gíác vuông có một đường trung tuyến bằng 25 cm”

Tính diện tích của tam giác vuông thì dễ quá! Chỉ cần biết 2 cạnh của góc vuông là tính được phải không? Đúng vậy. Nhưng làm sao để có số đo của 2 cạnh góc vuông ? Áp dụng định lý Pythagore? Dĩ nhiên. Nhưng giả thiết chỉ cho biết 1 tam giác vuông và 1 đường trung tuyến, thì có liên quan gì với định lý Pythagore? Mà đường trung tuyến lại không được xác định rõ là phát xuất từ đỉnh nào của tam giác, từ đỉnh của một góc nhọn hay từ đỉnh của góc vuông?
Giả sử tam giác ABC vuông tại A và đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh B,
cắt cạnh đối AC tại trung điểm M, BM = 25 cm. Xem Hình 1.

image002

image004

Diện tích tam giác ABC bằng S = ½ AB x AC. Áp dụng định lý Pythagore vào 2 tam giác vuông ABM và ABC, ta được:

AB2 + ¼ AC2 = BM2 = 252 = 625       (1)
AB2 + AC2 = BC2 (2)

Làm sao tính được AB và AC hay tích số AB x AC từ những hệ thức trên?

Nếu trung tuyến phát xuất từ đỉnh góc vuông A và cắt cạnh huyền BC tại N, thì

AN = ½ BC => BC = 2 AN = 2 x 25 = 50 cm (3)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC:

AB2 + AC2 = BC2 = 502 = 2500 (4)

Làm sao tính được AB và AC hay tích số Ab x AC từ phương trình trên?

Những nhận xét trên cho thấy bài toán nhỏ trên thật ra không phải dễ!

Có cách nào giải được nhanh chóng bài toán trên không? Thuận Hoà mời độc giả xem cách giải sau đây.

*       *       *

Như đã thấy, bài toán có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Trung tuyến phát xuất từ đỉnh của 1 góc nhọn, thí dụ đỉnh B.

Xem Hính 1.

image006         (5)

Phương trình (1) có thể viết lại như sau:

= > (AB, AC/2, 25) là 1 bộ ba Pythagore

(7, 24, 25) là 1 bộ ba Pythagore.  Thật vậy:       72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252

Suy ra, nghiệm số có thể là:

image008

a) AB = 7, AC/2 = 24 hay AC = 48               (Hình 1.1)

==> Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 7 x 48 = 168 cm2

b) AB = 24, AC/2 = 7 hay AC = 14              (Hình 1.2)

==> Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 24 x 14 = 168 cm2

Kết quả cũng như trên với trung tuyến phát xuất từ đỉnh C.

Tóm lại:    Nếu trung tuyến phát xuất từ một đỉnh của góc nhọn thì diện tích của tam giác vuông ABC bằng 168 cm2.

Trường hợp 2: Trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông.

Xem Hình 2.

Phương trình (4) có thể viết lại như sau:

AB2 + AC2 = 502          (6)

==> (AB, AC, 50) là 1 bộ ba Pythagore

(14, 48,50) là 1 bộ ba Pythagore.    Thật vậy:     142 + 482 = 196 + 2304 = 2500 = 502

Suy ra: Hai cạnh góc vuông của tamg giác ABC là 14 và 48

==> Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 14 x 48 = 336 cm2

Tóm lại:   Nếu trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông thì diện tích của tam giác vuông ABC bằng 336 cm2.

Kết quả nầy gấp đôi kết quả khi trung tuyến phát xuất từ đỉnh của 1 góc nhọn.

Nhận xét

Lời giải trên là một lời giải đặc biệt cho một bài toán đặc biệt với trung tuyến cho sẵn có độ dài đặc biệt thích ứng để áp dụng các bộ ba Pythagore. Nếu trung tuyến cho sẵn có số đo bất kỳ thì chưa chắc có lời giải nào cho bài toán!


Thuận Hoà

One Response to “CP101 – Một bài toán hay (1)”

  1. […] đọc Chuyện Phiếm mới nhất: “Một bài toán hay (1)”, trong mục Các Tài liệu mới […]

 
%d bloggers like this: