ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP102 – Đa giác đều nội và ngoại tiếp với một vòng tròn



Trong bài viết “So sánh diện tích của hình nội và ngoạt tiếp với một vòng tròn”, tác giã đã xét 2 trường hợp:

a) Trường hơp 2 hình vuông nội tiếp và ngoại tiếp với cùng một vòng tròn
=> Diện tích hình vuông ngoại tiếp gấp 2 lần diện tích hình vuông nội tiếp

b) Trường hợp 2 tam giác đều nội tiếp và ngoại tiếp với cùng một vòng tròn
=> Diện tích tam giác đều ngoại tiếp gấp 4 lần diện tích tam giác đều nội tiếp

Sau khi đọc bài đó, một người bạn có hỏi tác giả “Còn diện tích 2 đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp với cùng một vòng tròn thì sao?”. Bài viết hôm nay giúp trả lời câu hỏi đó.

Để đơn giản, trước hết ta xét trường hợp của 2 lục giác đều (có 6 cạnh bằng nhau) nội tiếp và ngoại tiếp với cùng một vòng tròn. Sau đó, ta sẽ suy rộng ra trường hợp tổng quát cuả 2 đa giác đều có n cạnh bằng nhau.

Xin nhắc độc giả vài công thức thường gặp:

image002

Diện tích tam giác = 1/2 cạnh đáy x chiều cao

Gọi x là góc hợp bởi 2 cạnh BA và BC của tam giác ABC vuông tại A. Ta có:
sin x = AC / BC = cạnh đối / cạnh huyền
cos x = BA / BC = cạnh kề / cạnh huyền
tg x = AC / AB = cạnh đối / cạnh kề

image004

image006

Xét 2 lục giác đều ABCDEF và MNPQRS lần lượt ngoại tiếp và nội tiếp với vòng tròn tâm O, bán kính R.

Vì AB = BC = CD = DE = EF = FA nên các góc AOB, BOC, COD, DOE, EOF và FOA bằng nhau và bằng 60º ,
các tam giác AOB, BOC, COD, DOE, EOF và FOA là tam giác đều bằng nhau. Tam giác đều AOB có đường cao OM = R
cũng là phân giác của góc AOB = 60º và trung trực của cạnh AB.

=> AB = 2MB = 2 OM tg BOM = 2R tg 30o

S(AOB) = (1/2) OM x AB                   S(AOB) = Diện tích tam giác AOB
= (1/2) Rx 2R tg 30º = R2 tg 30º

Diện tích lục giác ABCDEF = 6 S(OAB) = 6R2tg 30º           (1)

Vì MN = NP = PQ = QR= RS = SM nên các góc MON, NOP, POQ, QOR, ROS v à SOM bằng nhau và bằng 60º ,
các tam giác MON, NOP, POQ, QOR, ROS và SOM là tam giác đều bằng nhau. Tam giác đều MON có cạnh bằng R,
đường cao OH cũng là phân giác của góc MON = 60º và trung trực của cạnh MN.

=> MN = 2MH = 2 OM sin MOH = 2R sin 30o
OH = OM cos MOH = R cos 30º
S(MON) = OH x MN = Rcos 30º x 2R sin 30º

= R2 sin 30º cos 30º

Diện tích lục giác MNPQRS = 6 S(MON) = 6 R2 sin 30º cos 30º (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

Diện tích lục giác ABCDEF / Diện tích lục giác MNPQRS

image011

Tóm lại: Diện tích lục giác đều ngoại tiếp gấp 4/3 lần diện tích lục giác đều nội tiếp.

*       *      *

Bằng chứng minh tương tự như trên, ta có thể so sánh diện tích của 2 đa giác đều có n cạnh tiếp xúc nội tiếp và ngoại tiếp với cùng một vòng tròn.

Thật vậy, với n cạnh, mỗi đa giác bằng n tam giác cân bằng nhau có góc ở đỉnh bằng 360º / n.
Mỗi tam giác cân bằng 2 tam giác vuông có một góc bằng 360º / 2n.

Diện tích của đa giác đều n cạnh ngoại tiếp với vòng tròn bằng, tương tự như (1):

S (ngoại tiếp) = n R2 tg (360º/2n)               (3)

Diện tích của đa giác đều n cạnh nội tiếp với vòng tròn bằng, tương tự như (2):

S (nội tiếp) = n R2 sin (360o/2n) cos(360o/2n) (4)

Suy ra: S (ngoại tiếp) / S (nội tiếp) = n R2 tg (360o/2n) / n R2 sin (360º/2n) cos (360º/2n)

= 1 / (cos 360º/2n)2 = 1 / (cos 180º/n)2

S (ngoại tiếp) / S (nội tiếp) = 1 / (cos 180º/n)2 

(S: Diện tích;   n: số cạnh của đa giác đều)

Ta có thể tìm lại những kết quả đã biết bằng công thức trên:

n = 4 => Hình vuông ngoại tiếp / Hình vuông nội tiếp = 1 / (cos 45º)2 = 2
n = 3 => Tam giác ngoại tiếp / Tam giác nội tiếp = 1 / (cos 60º)2 = 4
n = 6 => Lục giác đều ngoại tiếp / Lục giác đều nội tiếp = 1 / (cos 30º)2 = 4/3
n = 5 => Ngũ giác đều ngoại tiếp / Ngũ giác đều nội tiếp = 1 / (cos 36º)2
n = 9 => Cửu giác đều ngoại tiếp / Cửu giác đều nội tiếp = 1 / (cos 20º)2
vv ….

Mong rằng độc giả, một ngày nào đó, sẽ có dịp sử dụng công thức mà tác giả đã tìm được về tỉ số diện tích giữa 2 hình đều ngoại tiếp và nội tiếp với cùng một vòng tròn.


Thuận Hoà

 
%d bloggers like this: