Có nhiều bài toán mà lời giải chỉ có thể tìm được bằng lý luận thông thường, thay vì bằng những phương trình hay hệ thống phương trình phức tạp. Thuận Hoà mời độc giả cùng Thuận Hoà giải bài toán sau đây:

Tìm một số có những tính chất sau đây:

Nếu số đó chia đúng cho 5, nó ở trong khoảng 1 và 19                                (1)
Nếu số đó không chia đúng cho 7, nó ở trong khoảng 21 và 39                  (2)
Nếu số đó không chia đúng cho 8, nó ở trong khoảng 41 và 59                   (3)
Nếu số đó không chia đúng cho 10, nó ở trong khoảng 100 và 120             (4)

Các khoảng số không kể 2 đầu, thí dụ 1 và 19 không nằm trong khoảng “1 và 19”. Mời độc giả thử tự tìm lời giải trước khi đọc tiếp.

*       *      *

Gọi N là số phải tìm.

N chia đúng cho 5 => N = 5, 10, 15 theo (1)

Cả 3 số trên không chia đúng cho 7 nhưng không nằm trong khoảng 21 và 39, theo (2), nên không nhận được.

Nếu không chia đúng cho 7

=> N = 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38 theo (2).

Hai số 25, 30 chia đúng cho 5 nhưng không nằm trong khoảng 1 và 19, theo (1), nên không nhận được.

Các số 22, 23, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 36, 37, 38 không chia đúng cho 8 nhưng không nằm trong khoảng 41 và 59, theo (3), nên không nhận được.

Hai số còn lại 24 và 32 không chia đúng cho 10 nhưng không nằm trong khoảng100 và 120, theo (4), nên không nhận được.

Nếu N không chia đúng cho 8

=> N = 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58.

Các số 45, 50, 55 không nhậnh được theo (1).

Các số 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 57, 58 không chia đúng cho 7 nhưng không nằm trong khoảng 21 và 39, theo (2), nên không nhận được.

Hai số 42, 49 không chia đúng cho 10 nhưng không nằm trong khoảng 100 và 120, theo (4), nên không nhận được.

Nếu N không chia đúng cho 10

=> N = 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119.

Ba số 105, 110, 115 không nhận được theo (1).

Các số 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 111, 113, 114 116, 117, 118 không chia đúng cho 7 nhưng không nằm trong khoảng 21 và 39, theo (2), nên không nhận đựợc.

Số 119 không chia đúng cho 8 và không nằm trong khoảng 41 và  59, theo (3), nên không nhận được.

Còn lại số 112.

Tóm lạ: số phải tìm là 112.

Thật vậy, 112 thoả các điều kiện đòi hỏi:

a) 112 không chia đúng cho 5 => Điều kiện (1) không áp dụng
b) 112 chia đúng cho 7 => Điều kiện (2) không áp dụng
c) 112 chia đúng cho 8 => Điều kiện (3) không áp dung
d) 112 không chia đúng cho 10 => Điều kiện (4) áp dụng

*         *         *

Thật ra, bài toán có thể giải một cách đơn giản hơn bằng nhận xét sau đây:

• Khoảng số trong điều kiện (4) có trị lớn hơn trong các điều kiện (1), (2) và (3)
=> Số phải tìm nằm trong khoảng 100 và 120 của điều kiện (4)

• Số phải tìm là số không chia đúng cho 5, chia đúng cho 7, chia đúng cho 8 và không chia đúng cho 10.
Khoảng 100 và 120 gồm các số:

101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110,
111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119

Các số 105, 110, 115 không nhận được

Các số còn lai, trừ 2 số 112 và 119, đều không chia đúng cho 7

Chỉ có số 112 chia đúng cho 8

Số 112 không chia đúng cho 10

= > 112 là số phải tìm

Thuận Hoà