Tôi có nguời bạn nghèo, ít học nhưng chân thật, hiền hậu. Mười năm về trước, tôi cho bạn mượn một số tiền để phụ mua nhà. Bạn tôi bảo tôi viết vài chữ để bạn tôi nhớ mà trả tiền lại cho tôi sau nầy. Tôi lấy một mảnh giấy nhỏ, chỉ ghi môt số duy nhất có 5 con số và đưa cho bạn tôi. Tôi chỉ muốn làm vừa lòng bạn chớ thật ra tôi cũng không muốn bạn phải bận tâm về số tiền đã mượn. May mắn là tháng rồi, bạn tôi trúng lôtô được một số tiền lớn, bèn vội vã đem tiền trả lại tôi.

Vì vội vã, để mảnh giấy ngược đầu, nhưng các con số vẫn đọc được, nên bạn tôi đã trả tôi đến $8,982 hơn số tiền đã mượn. Tôi nói với bạn: “Tôi đâu có muốn lấy tiền lời của anh”. Bạn tôi trả lời: “Đâu có, mượn bao nhiêu, tôi trả lại bấy nhiêu, đâu có tính tiền lời trong đó.”

Hỏi vậy: tôi đã cho bạn tôi mượn bao nhiêu tiền? Tôi nhớ rõ là số tiền đó chứa toàn các con số lớn.

*          *         *

Đây là một bài toán khó vì có thể cho là giả thiết thiếu sót, không đủ dữ kiện để tìm ra đáp số.
Thật ra, có một giả thiết quan trọng có thểlà đầu mối để tìm ra lời giải. Đó là “Để mảnh giấy ngươc đầu nhưng các con số vẫn đọc được”. Ta cần khai thác kỹ giả thiết nầy.

Trong các con số từ 0 đến 9, các con số có thể đọc được, dù mảnh giấy để xuôi hay ngược đầu là:

0   1   6   8   9            (đọc xuôi)
0   1   9   8   6            (đọc ngược)

Các số xuôi/ngược nầy ghép từng đôi thành 5 cặp xuôi/ngược:

(0,0),   (1,1),   (6,9),   (8,8),   (9,6)                   (1)

Gọi abcde là tiền cho mượn, đọc xuôi, và xyzuv là tiền trả nhầm, đọc ngược. Tất cả các số a, b, c, d, e và x, y, z, u, v đều nằm trong 6 con số 0, 1, 6, 8 hay 9.

Ta phải giải bài toán sau đây:

x   y   z    u  v                (đọc ngược)
a   b   c   d  e                (đọc xuôi)
===========
    8   9   8   2

Theo tính chất đọc xuôi/ngược, ta phải có các cặp xuôi/ngược sau đây:

(x,e) ,   (y,d),   (z,c),   (u,b)   và   (v,a)                (2)

1) Xét cột hàng đơn vị: “v – e = 2”.

Hệ thức trên chỉ có thể nghiệm đúng với     v = 8   và   e = 6.

Vì (x,e) là 1 cặp xuôi/ngược và e = 6 nên x = 9 theo (1)
Vì (v,a) là 1 cặp xuôi/ngược và v = 8 nên a = 8 theo (1).

2) Xét cột hàng chục: “u – d = 8”.

Hệ thức trên có thể nghiệm đúng trong 2 trường hợp:
u = 9,   d = 1
u = 6,   d = 8    (mượn 10)

a)   u = 9,   d = 1 => u – d = 9 – 1

Vì (u,b) là 1 cặp xuôi/ngược và u = 9 nên b = 6 theo (1)
Vì (y,d) là 1 cặp xuôi/ngược và d = 1 nên y = 1 theo (1).

Với y = 1, b = 6, cột hàng ngàn y – b = 8 không nhận được

b)   u = 6,   d = 8 => 10 + u – d = 16 – 8 = 8

Số giữ 1 đem qua cột hàng trăm.

Vì (u,b) là 1 cặp xuôi/ngược và u = 6 nên b = 9   theo   (1)
Vì (y,d) là 1 cặp xuôi/ngược và d = 8 nên y = 8    theo   (1).

Với y = 8, b = 9, cột hàng ngàn y – b = 8 có thể nghiệm được khi cột hàng trăm có số giữ 1 đem qua cột hàng ngàn:

 y – (b + số giữ 1) = 8 – (9 + 1) => 18 – 10 = 8 (mượn 10)

Số giữ 1 đem qua cột hàng vạn (10 ngàn).

Trường hợp b) nhận được.

3) Xét cột hàng trăm: “z – (c + số giữ 1) = 9”.

Hệ thức trên được nghiệm đúng khi z và c bằng nhau, tức là trong 3 trường hợp:

a)   z = c = 0
b)   z = c = 1
c)   z = c = 8

Cả 3 trường hợp trên đều nhận được.

Theo giả thiết thì số tiền cho bạn mượn đều chứa các con số lớn, nên ta chỉ nhận kết quả
z = c = 8.

Tóm lại: số tiền tôi cho bạn tôi mượn 10 năm về trước là: $89,886 và số tiền trả lại nhầm là $98,868, nhiều hơn số tiền mượn $98,868 – $89,886 = $8,982

Thuận Hoà