Ngày 26 tháng 3 năm nay là lễ kỷ niệm 100 năm ngày sinh của nhà Toán học Hy lạp rất được cộng đồng Toán học yêu mến Paul Erdos. Thuận Hoà đã có bài viết “Nhà Toán học lang thang Paul Erdos” trình bày sơ lược về cuộc đời của một người mà đầu óc luôn luôn nghĩ đến con số (Xem Chuyện phiếm CP095). Paul Erdos đã từng nói “Nếu người nào có thể nghĩ ra được một bài toán mà không ai giải được sau hơn một trăm năm, thì bài toán đó phải thuộc về lý thuyết số”.

Phần lớn, các bài toán hóc búa vẫn còn tồn tại đến ngày nay mà chưa ai giải được thuộc về số nguyên tố, như các giả định sau:

Giả định Golbach:

“Mọi số nguyên chẳn lớn hơn 2 có thể viết là tổng số của 2 số nguyên tố”

Thí dụ:    10 = 3 + 7,   14 = 7 + 7 = 3 + 11,   30 = 13 + 17

Nhắc lại: “Số nguyên tố là số chỉ chia đúng cho 1 và chính nó”.

Theo giả định Golbach, 1 cũng được xem là  số nguyên tố vì 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1.

Giả định Levy (hay Giả định Lemoine):

“Mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 có thể viết là tổng số của 1 sô nguyên tố lẻ với 2 lần một số nguyên tố khác”.

Thí dụ:    47 = 13 + (2 x 17) = 37 + (2 x 5) = 41 + (2 x 3) = 43 + 2 x 2)

Định lý nhỏ của Fermat:

“Mọi số có dạng 2m + 1 với m = 2n là số nguyên tố”. Số nầy được gọi là số Fermat.    Thí dụ:

n = 0 => m = 2⁰ = 1 => 2¹ + 1 = 3
n = 1 => m = 2¹ = 2 => 2² + 1 = 5
n = 3 => m = 2³ = 9 => 2⁸ + 1 = 257
n = 4 => m = 2⁴ = 16 => 2¹⁶ + 1 = 65,537

Thật ra, tính chất trên không phải là một định lý vì nhà Toán học Leonhard Euler, sinh đúng 100 năm sau Fermat, đã khám ra rằng với n > 4, tất cả các số Fermat không phải là số nguyên tố!.  Thí dụ:
n = 5 => m = 2⁵ = 32 => 2³² + 1 = 4,294,967,297 = 641 x 6,700,417

Định lý Chebyshev:

Khi vừa 20 tuổi, Paul Erdos đã tìm được một cách chứng minh tuyệt hơn cho một định lý nổi tiếng của lý thuyết số. Đó là định lý Chebyshev:

“Với mọi số lớn hơn 1, luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố ở giữa số đó và gấp đôi số đó”.

Nhiều nhà Toán học đã nổi tiếng và được nhiều giải thưởng nhờ giải được những bài toán hóc búa liên quan đến số nguyên tố, như 2 thí dụ sau đây.

Định lý cuối cùng của Fermat:

“Không có 3 số nguyên x, y và z nghiệm đúng phương trình xⁿ + yⁿ= zⁿ khi n > 2”

Fermat nêu lên định lý nầy nhưng không ai tìm được chứng minh của ông. Người ta chỉ tìm thấy chứng minh của Fermat cho tính chất “Không có 3 số nguyên tố cùng nhau x, y và z thoả phương trình x⁴ – y⁴ = z².”

Rất nhiều giải thưởng do các hàn lâm viện Pháp, Bỉ, Đức lập ra cho ai giải được định lý cuối cùng của Fermat. Có vô số chứng minh gởi đến các uỷ ban xét duyệt nhưng đều bị loại. Cho đến 358 năm sau, định lý cuối cùng của Fermat mới được nhà Toán học Anh quốc Andrew Wiles giải được nhờ những kỹ thuật toán học mới phát triển trong thế kỹ 20.
Ngày 27 tháng Sáu năm 1997, Wiles được tặng giải thưởng Wolfskehl đáng giá $50,000 của Hàn lâm viện Khoa học Göttingen của Đức.

Định lý Green-Tao:

Năm 2004, hai nhà Toán học Ben Green và Terence Tao đã chứng ming được định lý mang tên 2 ông như sau:

“Trong dãy vô hạn các số nguyên tố, với một số nguyên k bất kỳ, có thể tìm được một dãy số số học số nguyên tố có k số hạng”.

Dãy số số học là dãy các số cách nhau cùng một khoảng cách, thí dụ 3, 5,7,9,11,13 là một dãy số số học có khoảng cách bằng 2. Terrence Tao sinh năm 1975 tại Adekaide, Nam Úc, là một thần đồng toán học được ca tụng ở Úc trước đây và hiện là giáo sư Toán thại Đại học California, Los Angeles. Thí dụ:

k = 4 => (13, 43, 73, 103),   (23,53,83,113)
k = 5 => (11, 41, 71, 101, 103)
k = 6 => (7, 37, 67, 97, 127, 157)

Tháng giêng năm 2007, Jaroslaw Wroblewski đã tìm được dãy số số học gồm 24 số nguyên tố có dạng: 468395662504823 + (205619 x 223092870 x k) với k thay đổi từ 0 đến 23.

Số nguyên tố Mersenne lớn nhất:

Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng  2ⁿ – 1 với n là một số nguyên tố.

Có vô số số nguyên tố thì cũng có vô số số nguyên tố Mersenne.  Sáu số nguyên tố Mersenne đầu tiên là: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071 ứng với n = 2, 3, 5, 7, 13, 17.

Đi tìm những số nguyên tố Mersenne là một thách thức cho các máy điện toán lớn. Số nguyên tố Mersenne thứ 46 bằng 2^42643801 – 1, có 12,837,064 con số, tìm duợc bởi Odd Magnar Strindmo ngày 12 tháng 6 năm 2009. Số nầy nhỏ hơn số nguyên tố Mersenne thứ 47, 2^43112609 – 1, tìm được ngày 23 tháng 8 năm 2008 bởi Edson Smith.

Các nhà Toán học nhóm nghiên cứu Curtis Cooper, thuộc Đại học University of Central Missouri, trong chương trình sưu tầm số nguyên tố Mersenne (GIMPS), mới khám ra số nguyên tố lớn nhất năm 2013 sau hơn 4 năm tìm kiếm. Đó là số nguyên tố Mersenne thứ 48, 2^57885161 – 1, có 17,425,170 con số, vượt kỷ lục con số tìm ra năm 2008. Nếu viết bằng mẫu tự Times New Roman khổ chữ 12 thì phải dùng một quyển sách dày hơn 4000 trang (Xem thêm bài “CP089 – Số nguyên tố dài nhất có 17 triệu số mã” của Cao Xuan An).

Thuận Hoà