ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP118 – Chứng minh truy chứng



Nếu một tính chất nào đó đúng với n vật thì tính chất đó cũng đúng với (n+1) vật, ta có thể nói rằng tính chất đó đúng với một số bất kỳ của vật. Đó là cách diễn tả sơ sài của một phương pháp chứng minh thông dụng trong toán học, gọi là phương pháp “Chứng minh truy chứng”. Phương pháp nầy thường dùng để chứng minh những công thức có chứa một thông số (số có thể thay đổi). Thông số nầy thường thường là một số nguyên dương.

Nếu một công thức chứa số nguyên dương n đúng với một trị số nào đó của n và nếu công thức vẫn đúng khi n tăng thêm 1, tức là khi thay n bằng n+1, thì ta có thể kết luận là công thức đó đúng với mọi số n, trong những điều kiện đã qui định của số n.

Gọi CT là công thức có chứa thông số n với n là một số nguyên dương:

CT(n) đúng => CT(n+1) đúng => CT(n) đúng với mọi số n

Một thí dụ thường được dùng để giải thích phương pháp “Chứng minh truy chứng” như sau:
Chứng minh tổng số S(n) của n số nguyên dương liên tiếp bằng ½ n(n + 1) , nói cách khác, chứng minh công thức:

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ……… + n  =   ½ n(n + 1)          (1)

đúng với mọi trị số nguyên dương của n.

Công thức (1) đúng với n = 1, n = 2   vì

S(1) = 1 = ½ 1 x (1 + 1) = 1
S(2) = 1 + 2 = ½ 2 x (2 + 1) = 3

Giả sử công thức (1) đúng đến một số n nào đó.
Thay n bằng số kế tiếp, hay thay n bằng n+1:

=> S(n+1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ………. + n + (n + 1)
= S(n) + (n + 1) = ½ n(n + 1) + (n+1)

=> S(n+1) = ½ [n(n + 1) + 2(n + 1)] = ½ (n + 1)(n + 2)            (2)

Kết quả (2) chứng tỏ rằng công thức (1) cũng đúng khi thay n bằng   n+1.

=> Công thức (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

*  *  *

Chứng minh truy chứng thường được áp dụng dưới hình thức này hay hình thức khác, một cách sai lệch, trong những sinh hoạt hàng ngày. Thí dụ như “Cái hiện tượng đó xảy ra hàng ngày, thì nó cũng sẽ xảy ra ngày mai!”, “Cả trăm người uống thuốc nầy đã hết bịnh, ông mua đi, uống vào cũng sẽ hết bịnh ngay!”. Cũng như tam đoạn luận, luận thứ nhất hay luận thứ hai, nếu không vững chắc, thì kết luận thứ ba cũng vất đi và chỉ là nguỵ biện.

Ngay cả trong toán học, chứng minh truy chứng cũng dễ dẩn đến những kết quả sai lầm, nguỵ biện, không dễ khám phá ra như thí dụ dưới đây:

Xét hàm số “Cực đại” của 2 số a và b, ký hiệu MAX(a,b) định nghĩa như sau:

MAX(a,b) = số lớn hơn trong 2 số a và b

Thí dụ:    MAX(5,8) = 8, MAX(9,4) = 9, MAX(7,7) = 7

Nếu cộng hay trừ a và b với 1 thì số nào lớn hơn vẫn còn lớn hơn sau khi cộng hay trừ 1.

=>   MAX(a+1,b+1) =  MAX(a,b) + 1
         MAX(a–1,b–1)  =   MAX(a,b) – 1             (3)

Thí dụ:        MAX(5,8) = 8 => MAX(5+1,8+1) = 9 = MAX(5,8) + 1
=>     MAX(5–1,8 –1) = 7 = MAX(5,8) – 1

Bây giờ, ta thử dùng phương pháp truy chứng để chứng minh tính chất (nguỵ biện) sau đây:

“Với mọi số n, nếu MAX(a,b) = n với a, b, n là những số tự nhiên, thì a = b”           (4),

(Chú thích: Số tự nhiên là số nguyên không dấu và khác 0)

Tính chất (4) đúng khi n = 1 vì số lớn hơn trong 2 số a và b bằng 1 thì số kia cũng phải bằng 1 vì không thể bằng 0:

n = 1 , MAX(a,b) = 1       =>   a = b = 1              (5)

Giả sử tính chất (4) đúng đến một trị số nào đó lớn hơn 1 của n, tức là:

n > 1, MAX(p,q) = n       =>  p = q            (6)

Thay n bằng số kế tiếp, hay thay n bằng n + 1:
=> MAX(a,b) = n + 1

Trừ a và b cho 1, theo tính chất (3):
=> MAX(a–1,b–1) = MAX(a,b) – 1 = (n + 1) – 1 = n

Vì tính chất (4) đúng đến số n, nên
MAX(a–1,b–1) = n       => a – 1 = b – 1   =>   a = b

=> Tính chất (4) cũng đúng khi thay n bằng n + 1.

Suy ra: tính chất (4) đúng với mọi số n!

*     *     *

Dĩ nhiên, tính chất (4) không đúng và chứng minh truy chứng trên chỉ là một nguỵ biện.

Hỏi vậy, cái sai nằm ở đâu? Cái sai nằm ở chỗ: từ tính chất (5) đúng với n = 1 mà ta có thể giả sử tính chất (6) cũng đúng với một trị số n nào đó lớn hơn 1.   Lấy thí dụ n = 2:

MAX(a,b) = 2   => a và b có thể có 1 trong 3 cặp trị số (2,2), (2,1), (1,2),
Không bắt buộc a = b

=> Tính chất (4) chỉ đúng khi n = 1 nhờ vào tính chất khác 0 của 2 số a và b.

Nếu bỏ điều kiện khác 0 của 2 số a và b, thì tính chất:
MAX(a,b) = n     => a = b với mọi trị số của n  hoàn toàn sai và không có giá trị gì cả.

Thuận Hoà

 
%d bloggers like this: