ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP123 – Nghịch lý Galileo



Nếu so sánh 2 tập hợp hữu hạn, ta có thể dễ dàng kết luận rằng 2 tập hợp đó bằng nhau hay tập hợp nầy lớn hơn tập hợp kia (nói về số phần tử của mỗi tập hợp).

Cách đơn giản nhất để so sánh 2 tập hợp là ghép các phần tử của 2 tập hợp đó từng đôi đến khi 1 tập hợp cạn hết phần tử. Nếu tập hợp kia cũng cạn hết phần tử, ta nói: 2 tập hợp đó bằng nhau, ngược lại, thì tập hợp kia là tập hợp lớn hơn. Nói cách khác, 2 tập hợp có cùng số phần tử khi các phần tử của tập hợp nầy tương ứng 1 đối 1 với các phần tử của tập hợp kia. Đó là khái niệm căn bản của số tự nhiên và phép đếm.

Cũng là một khái niệm thông thường khi nói rằng một phần của tập hợp (tập hợp con) thì có ít phần tử hơn tập hợp, thí dụ: tập hợp {2,4,6,8} có ít phần tử hơn tập hợp {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Cách so sánh số phần tử của 2 tập hợp như trên hoàn toàn đúng với những tập hợp hữu hạn, có một số giới hạn phần tử. Nhưng, đối với các tập hợp vô hạn, có vô số phần tử, thì sao?

Theo nghịch lý Galileo thì một phần của một tập hợp vô hạn cũng có cùng số phần tử với tập hợp đó (nếu phần đó cũng là một tập hợp vô hạn)

Galileo đã xét 2 tập hợp vô hạn: tập hợp số nguyên dương N = {1,2,3,4,5, …} và tập hợp bình phương các số nguyên S = {1,4,9,16,25, …}.

Trong tập hợp N, có những số chính phương, tức là những số nằm trong S và những số không chính phương, không nằm trong S. Như vậy, S là một tập hợp con của N. Theo khái niệm trong tập hợp hữu hạn thì tập hợp S phải có ít phần tử hơn tập hợp N.

Nhưng, mặt khác, có một sự tương ứng 1 đối 1 giữa các phần tử N và S, như theo bảng dưới đây:

image002

Ứng với một số nguyên dương của N, có một bình phương duy nhất nằm trong S và ứng với một số của S, có một căn số bậc hai nằm trong N.
Như vậy, cũng theo khái niệm trong tập hợp hữu hạn, hai tập hợp N và S phải bằng nhau, trong nghĩa có cùng số phần tử.

Áp dụng khái niệm về sự so sánh các tập hữu hạn vào tập hợp vô hạn đưa đến một sự không hợp lý là “Tập hợp con bằng với tập hợp mẹ (trường hợp tập hợp vô hạn)” ! Sự vô lý nầy được nêu lên lần đầu tiên bởi Galileo và được xem là một nghịch lý.

Nghịch lý Galileo có thực sự là một nghịch lý không?

Nghịch lý Galileo là một dấu hiệu ban đầu đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết tập hợp sau nầy. Thực ra, nghịch lý Galileo là một nghịch lý ở thời điểm của Galileo mà thôi. Ngày nay, người ta không coi đó là một nghịch lý nữa.

Nghịch lý xảy ra khi ta đem sự so sánh, hay cụ thể hơn là cách đếm, các tập hợp hữu hạn để xét các tập hợp vô hạn.

Với tập hợp vô hạn, người ta phải suy rộng khái niệm về số nguyên để chỉ kích thước của tập hợp. Đó là khái niệm về “bản số” (cardinal number), do Georg Cantor (1874 – 1884) giới thiệu trong lý thuyết tập hợp.

Theo Cantor, hai tập hợp {1,2,3} và {2,3,4) không bằng nhau, nhưng có cùng bản số và bản số đó bằng 3. Với tập hợp hữu hạn, bản số chính là số phần tử của tập hợp. Hai tập hợp hữu hạn có sự tương ứng 1 đối 1 với nhau thì có cùng bản số.

Cantor áp dụng khái niệm về sự tương ứng 1 đối 1 vào tập hợp vô hạn, thí dụ tập hợp số tự nhiên N ={0,1,2,3, ….}. Trường hợp với tập hơp vô hạn, các bản số nầy gọi là “bản số siêu hạn” (transfinite cardinal numbers)các tập hợp có tương ứng 1 đối 1 với N gọi là tập hợp “vô hạn đếm được” (denumerable). Một tập hợp đếm được (countable) khi tập hợp đó hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Một thí dụ: Xét tập hợp M các số nguyên dương gồm tất cả các số lẻ theo sau bởi tất cả các số chẳn

M = {1,3,5,7,9, . . . . ,2,4,6,8, . . . .}

và tập hợp N các số nguyên dương viết liên tiếp:

N = {1,2,3,4,5,6, . . . . .}

Nếu ghép đôi các phần tử của 2 tập hợp theo thứ tự như trên (1-1,3-2,5-3, . . .), thì phần số lẻ trong M ghép đôi với tất cả các phần tử của N. N không còn phần tử nào để ghép đôi với các số chẳng trong M. Như vậy thì ghép đôi các phần tử của M và N theo thứ tự đó sẽ dẩn đến một vô lý là có một tập hợp không có tương ứng 1 đối 1 với chính nó (M và N thật ra là cùng một tập hợp). Đó là lý do tại sao ta có định nghĩa “Bản số” (Cardinal number”.

Hai tập hợp có cùng bản số khi và chỉ khi nào có một sự tương ứng 1 đối 1 nào dó giữa các phần tử của hai tập hợp đó.

Theo định nghĩa đó thì 2 tập hợp M và N có cùng bản số qua sự tương ứng 1 đối 1
(1-1, 2-2, 3-3, v v …..).

Thuận Hoà

 
%d bloggers like this: