Nếu mời độc giả giải một bài toán cộng với 2 số có 3 con số, thí dụ như 789 + 456, thì ai ai cũng giải được! Nhưng với bài toán cộng như dưới đây, thì khác:

abc + def = ghi          (1)

với a, b, c, d, e, f, g, h, i  là  9 con số khác nhau, kể cả 0.

Làm sao tìm được một lời giải của bài toán trên? Nói khác đi, xác định 9 con số a, b, c, d, e, f, g, h, i để bài toán được nghiệm. Xin mời độc giả thử suy nghĩ xem.

*      *      *

Tác giả đề nghị một cách giải như dưới đây.

Phân tích 3 số abc, def và ghi trong phương trình (1):

(100a + 10b + c) + (100d + 10e + f) = 100g + 10h + i

=>    100(a + d) + 10(b + e) + (c + f) = 100g + 10h + i

Phương trình (1) sẽ được nghiệm nếu 3 phương trình sau đây được nghiệm:

a + d = g         (2)
b + e = h         (3)
c + f = i           (4)

Vấn đề là trong 10 con số

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9

Ta phải liên kết các các con số thành cặp 3 gồm các con số khác nhau, thoả cho 3 phương trình (2), (3) và (4).

Thí dụ, ta có thể liên kết 3 con số 2, 7 và 9 để có 2 + 7 = 9. Nếu liên kết phép tính nầy với phương trình (1), ta có:

a = 2,    d = 7,     g = 9              (5)

Cái khó khăn nằm ở con số 0, vì 0 cộng với con số nào cũng bằng con số đó, như vậy là trái với giả thiết. Trường hợp nầy, ta phải tìm 2 con số có tổng số bằng 10. Thử liên kết 2 số 4 và 6 xem sao: 4 + 6 = 10

Nếu liên kết phép tính nầy với phương trình (4), ta có:

c = 4,    f = 6,    i = 0               (6)

Con số 1 kể như con số giữ. Nên nhớ rằng c, f và i là 3 con số ở hàng đơn vị lần lượt của 3 số abc, def và ghi, nên số 1 nầy phải thêm vào hàng chục của hệ thức  b + e = h.

Các con số còn lại chưa dùng là 1, 3, 5 và 8.

Nếu kể luôn con số giữ 1, thì phép tính sau đây có thể dùng được:

1 + 3 + (số giữ) = 5

Nếu liên kết phép tính nầy với phương trình (3), ta có:

b = 1,    e = 3,    h = 5                (7)

Tóm lại: một nghiệm của bài toán (1) là:

214 + 736 = 950           (8)
với a = 2, b = 1, c = 4, d = 7, e = 3, f = 6, g = 9, h = 5 và i = 0

Theo cách giải trên, thì (8) chỉ là 1 lời giải đặc biệt của bài toán (1), tức là không chứng minh được lời giải đó là duy nhất. Mời độc giả áp dụng phương pháp trên để tìm một lời giải khác.

*      *      *

Có câu hỏi đặt ra là: nếu không kể con số 0, thì phương pháp trên có thể giúp tìm được một lời giải của bài toán (1) hay không? Câu trả lời là: không thể. Thật vậy, ta biết tổng số các con số từ 1 đến 9 bằng 45:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Vì a, b, c, d, e, f, g, h, i là 9 con số khác 0 và khác nhau nên:

a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45

=> (a + d) + (b + e) + (c + f) + (g + h + i) = 45

Theo (2), (3) và (4), a + d = g,  b + e = h,  c + f = i,    suy ra:

2(g + h + i) = 45

Không thể nào tìm được 3 con số g, h và i thoả phương trình trên, vì vế bên trái là số chẳn trong khi vế bên phải là số lẻ.

Tóm lại: Nếu không kể con số 0, thì phương pháp trên không thể giúp tìm được một lời giải của bài toán (1).

Thuận Hoà