Toán mẫu tự là toán mà mỗi mẫu tự thay thế cho một con số duy nhất. Giải bài toán mẫu tự là tìm các con số thay thế các mẫu tự sao cho bài toán số học được thoả. Trong mục nầy, Thuận Hoà đã trình bày nhiều bài toán mẫu tự lý thú, có bài rất khó. Đó là những bài toán đơn độc, chỉ có một phương trình và một phép tính, thường là phép cộng hay phén nhân.

Trong bài viết nầy, Thuận Hoà mời độc giả cùng Thuận Hoà gỉải một hệ thống bài toán mẫu tự đặc biệt trong đó tổng hợp nhiều phép tính cộng (+), trừ (-), nhân (x) và chia (÷).

Bài toán đó như sau:

Hay, dưới dạng phương trình:

ABCB – DEFC = GAFB       (1)
ABCB ÷ DH = GGE             (2)
DEFC + AB = DEBB           (3)
GAFB – IEI = DHDG           (4)
GGE + DEBB = DHDG        (5)
DH x AB = IEI                   (6)

Dĩ nhiên, câu hỏi của bài toán là tìm các số thay thế các mẫu tự sao cho hệ thống các
phương trình số học được thoả.

*      *     *

Phương trình (1) cho:

B – C = B => C = 0
C – F = F => 0 – F => F = 5 (Số giữ 1)
B – (E + số giữ 1) = A => B – E = A + 1      (7)
A – D = G                                                   (8)

Phương trình (3) cho:

C + B = B => 0 + B = B
F + A = B => 5 + A = B                           (9)

(7) và (9) => B – E = B – 4 => E = 4
(7) => B = E + A + 1 = A + 5                 (10)

Phương trình (5) cho:

E + B = G

Thay E = 4 và B = A + 5 từ (10):
= > 4 + A + 5 = G => A + 9 = G            (11)

Thay G = A + 9 vào (8), ta đuợc D = -9 , không nhận được.

Điều đó chứng tỏ A + 9 ≥ 10 và A + 9 = 10 + G           (12)

Thay G = A – 1 vào (8) => D = 1

Cũng suy ra từ phương trình (5):
G + B + (Số giữ 1) = D = 1 => G + B = 0 không nhận được.

Điều đó chứng tỏ: G + B + 1 ≥ 10 => G + B + 1 = 10 + D = 11
=> G + B = 10               (13)

Cột kế tiếp trong phương trình (5):

G + E + (Số giữ 1) = H
= > G + 5 = H                   (14)

Phương trình (4) cho:

B – I = G                     (15)
F – E = D                    (16)
A – I = H                     (17)
G = D                         (18)

(16) đã được thoả với F = 5, E = 4 và D = 1

(17) chứng tỏ A – I ≤ 0 và I – A = H (Số giữ 1) (19)
=> G – (Số giữ 1) = D = 1 => G = 2

Theo (12): A + 9 = 10 + G = 12 => A = 3

Theo (13): G + B = 10 => B = 8

Theo (15): B – I = G => 8 – I = 2 => I = 6

Theo (19): I – A = H => 6 – 3 = H => H = 7

Tóm lại, đáp số của bài toán mẫu tự tổng hợp là:

A = 3, B = 8, C = 0, D = 1, E = 4, F = 5, G = 2, H = 7, I = 6

Hay

Nhận xét rằng trong phần lý luận trên, hai phương trình có phép tính chia và nhân, (2) và (6), đã không được sử dụng. Để chắc chắn đáp số đúng, ta phải thử lại xem các đáp số đó có nghiệm 2 phương trình nầy hay không?

Phương trình (2):    ABCB ÷ DH = GGE được nghiệm đúng vì:
3808 ÷ 17 = 224

Phương trình (6):   DH x AB = IEI được nghiệm đúng vì:
17 x 38 = 646

Thuận Hoà