“Nón tai lừa” có phần lõm ở giữa và hai thành bên vương cao lên như hai tai của con lừa! Hình dưới đây minh hoạ một “Nón tai lừa” đã được tiêu chuẩn hoá như là một hình ngũ giác lõm ABCDE với toạ độ của các đỉnh là A(0,5), B(1,0), C(7,0), D(8,5) và E(4,2).

ABCD là một hình thang có cạnh đáy nhỏ BC dài 6cm, cạnh đáy lớn DA dài 8cm và đường cao dài 5cm.
Bây giờ, mời độc giả thử tính diện tích của “Nón tai lừa” bằng nhiều cách khác nhau để xem có gì lạ không?

*        *        *

Chúng ta thử tính diện tích của hình “Nón tai lừa” bằng 2 cách:

Cách thứ nhất:

Xem diện tích của “Nón tai lừa” như là bằng diện tích của hình thang ABCD trừ bớt diện tích của tam giá ADE.

DT(ABCD) = ½ (Đáy lớn + Đáy nhỏ) x Chiểu cao = ½ (8 + 6) x 5 = 35 cm2
DT(ADE)   = ½ Cạnh AD x Chiều cao = ½ AD x FA = ½ 8 x 3 = 12 cm2

=>    DT(ABCDE) = DT(ABCD) – DT(ADE) = 35 – 12 = 23 cm2

Cách thứ hai:

Xem diện tích của “Nón tai lừa” như là bằng diện tích của tam giác ABC cộng với diện tích tam giác BCD và trừ bớt diện tích tam giác BCE.

DT(ABC) = DT(BCD) = 1/2  Cạnh BC x Chiều cao
= 1/2 BC x AO = 1/2 x 6 x 5 = 15 cm2
DT(BCE) = 1/2 BC x Chiều cao = 1/2 BC x FO = 1/2 x 6 x 2 = 6 cm2

=>  DT(ABCDE) = DT(ABC) + DT(BCD) – DT(BCE)
                 = 15 + 15 – 6 = 24 cm2

Như vậy, hai cách tính diện tích của “Nón tai lừa” cho 2 kết quả khác nhau 23 cm2 và 24 cm2!

Hỏi vậy, phương pháp tính trên sai chỗ nào? Mời độc giả giải thích giùm!

*     *    *

Giải thích:

Kết quả thứ nhì sai vì đã xem 3 điểm A, E, C như thẳng hàng (và tương tự 3 điểm B, E, D thẳng hàng). Thật ra, 3 điểm A, E, C không thẳng hàng. Ta có thề thấy điều đó nếu xét 2 góc AEF và ACO. Hai góc nầy không bằng nhau vì có tang không bằng nhau. Thật vậy:

Tang(AEF) = AF / FE = 3/4 = 21/28
Tang(ACO) = AO / OC = 5/7 = 20/28

= > tang(AEF) ≠ tang(ACO) => Góc AEF ≠ Góc ACO => A, E, C không thẳng hàng

Một cách giải thích khác là tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

Phương trình của đường AC:       5x + 7y = 35
Phương trình của đường BD:       5x – 7y = 5

Giải hệ thống phương trình tuyến tính trên, ta được: x = 4, y = 15/7 ≈ 2.143
= > Giao điểm E’ (không có trên hình) có hoành độ 4 nhưng tung độ lớn hơn 2 chút ít.
=> E’ ở cao hơn E chút ít.

Tóm lại:
– Nếu E ở vị trí của E’, tức là E có tọa độ (4,15/7), thì diện tính của “Nón tai lừa” là 24 cm2.
– Nếu E có toạ độ (4,2) như giả thiết, thì diện tích của “Nón tai lừa” là 23 cm2.

Nhận xét: Bài toán trên cho thấy tầm quan trọng của hình vẽ trong những bài toán hình học.
Một hình vẽ đủ lớn và rõ ràng, vẽ bằng thước và compa sẽ giúp cho người giải nhiều
ý kiến và tránh được những sai lầm vô tình đáng tiếc.

Thuận Hoà