Một trùng hợp đơn giản thường làm ngạc nhiên mọi người là về sinh nhật.
Dĩ nhiên là không chắc chắn bạn và tôi có cùng sinh nhật (tháng và ngày). Tuy vậy, càng có nhiều người trong một nhóm thì càng dễ có ít nhất hai người có cùng sinh nhật.

Bỏ qua ảnh hưởng của những năm nhuần, bạn dễ dàng thấy được là trong một nhóm có 366 người, ít nhất có hai người có cùng sinh nhật. Tuy nhiên, vẫn có nhiều người cho là không hợp lý khi nói rằng chỉ cần 23 người trong nhóm là được 50-50 cơ may (hay xác suất) có được ít nhất hai sinh nhật trùng nhau.

Để thấy tại sao chỉ cần 23 người là có được cơ may 50% của ít nhất một sinh nhật trùng nhau, bạn phải nhờ đến phép tính xác suất. Giả sử 365 ngày đều có cơ hội như nhau là sinh nhật. Nếu nhóm chỉ có một người, cơ may để có sinh nhật trùng nhau là 0, nói khác đi, cơ may dể có một sinh nhật duy nhất là 1 hay 365/365. Nếu có thêm một người thứ hai, sinh nhật người nầy sẽ khác sinh nhật người thứ nhất nếu nó xảy ra trong 364 ngày còn lại của năm, tức là, cơ may để sinh nhật người thứ hai khác sinh nhật người thứ nhất là 364/365. Nói chung, trong nhóm 2 người, cơ may để không có sinh nhật trùng nhau bằng:

(365/365) x (364/365) = 0.9973

Suy ra, cơ may để có sinh nhật trùng nhau bằng 1 – 0.9973 = 0.0027 tức là nhỏ hơn 1%.
Với 2 người, có 363 sinh nhật chưa dùng. Nếu nhóm có thêm người thứ ba, cơ may để sinh nhật của người nầy khác sinh nhật của 2 người kia bằng 363/365.

Nói chung, trong nhóm 3 người, cơ may để không có sinh nhật trùng nhau bằng:

(365/365) x (364/365) x (363/365) = 0.9918

Suy ra, cơ may để có sinh nhật trùng nhau bằng 1 – 0.9918 = 0.0082

Khi số người trong nhóm tăng lên, cơ may để không có sinh nhật trùng nhau giảm đi và cơ may để có ít nhất một sinh nhật trùng nhau tăng lên. Nếu nhóm có N người thì cơ may để không có sinh nhật trùng nhau bằng:

(365/365) x (364/365) x ……. x (365 – N + 1)/(365)^N = P(365,N) / (365)^N

P(365,N) là số hoán vị của 365 vật lấy từ N vật mỗi lần

Suy ra, cơ may để có ít nhất một sinh nhật trùng nhau trong nhóm N người bằng:

1 – P(365,N) / (365)^N

Khi số người trong nhóm tăng lên đến 23, cơ may để không có sinh nhật trùng nhau bẳng:

(365 x 364 x 363 x …. x 343) / (365)²³ = 0.4927

Suy ra, trong nhóm 23 người, cơ may để có ít nhất một sinh nhật trùng nhau bằng:

1 – 0.4927 = 0.5073 lớn hơn chút ít 50%.

Lý do tại sao chỉ cần 23 người là có cơ may có người cùng sinh nhật là vì bạn không xác định người nào cùng sinh nhật với người nào, bạn không xác định sinh nhật là ngày mấy của năm. Bất cứ 2 người nào có cùng ngày sinh bất kỳ ngày nào trong năm đều kể là một sinh nhật trùng nhau. Trong nhóm 23 người, nếu ghép từng đôi thì có:

C(23,2) = 23!/(23-2)! 2! = 23×22/2 =253 đôi

Trong 253 đôi đó, đôi nào có cùng ngày sinh cũng kể là có một sinh nhật trùng nhau.

Có thể suy ra một công thức đơn giản cho biết gần đúng số người cần thiết để cơ may sinh nhật trùng nhau trong số những người đó đạt 50%. Cơ may đó đạt được 50% khi số người bằng 1.2 lần căn số bậc hai của số ngày có thể là sinh nhật.

Nếu số ngày có thể là sinh nhật bằng 365, thì số người cần thiết để cơ may của sinh nhật trùng nhau đạt 50% bằng:

1.2 √365 = 22.926 ≈ 23 người

Theo công thức trên, nếu bạn được sinh ra trên một hành tinh mà một năm có 687 ngày, bạn phải cần đến ít nhất 31 người thì cơ may để có ít nhất một sinh nhật trùng nhau mới đạt đến 50%!.

Để đạt cơ may 95% sinh nhật trùng nhau trong 365 ngày, số người cần thiết trong nhóm phải bằng 2.5 lần căn số bậc hai của 365, tức là vào khoảng 48 người.

Cách tìm cơ may để có 3 người có cùng sinh nhật phức tạp hơn. Theo Ivars Peterson (“Birthday Surprises” ©1998), trong 365 ngày, để cơ may có ít nhất có 3 người có cùng sinh nhật đạt đến 50%, nhóm phải có đến 88 người.

Bảng sau đây liệt kê số người cần thiết N để cơ may có ít nhất k người có cùng sinh nhật (trong năm 365 ngày) đạt quá 50%:

Như vậy, trong buổi tiệc 1,000 người, ít nhất 9 người có cơ may có cùng sinh nhật!

Thuận Hoà tổng hợp