Có một bài đố vui toán học thường được nêu lên trong các buổi họp mặt của các bạn trẻ như dưới đây.

Người ra câu đố lấy một mảnh giấy nhỏ, kín đáo viết vào đó 1 số, rồi xếp giấy lại, bỏ vào túi bạn và bảo bạn thực hiện những phép tính sau đây trên điện thoại cầm tay của bạn:

“Bạn hãy kín đáo viết ra 1 số A gồm 3 con số mà 2 con số hàng trăm và hàng đơn vị cách nhau ít nhất 2 đơn vị.
Bạn viết ngược lại số A, tức là hoán vị 2 con số hàng trăm và hàng đơn vị, để có số B.
Trong 2 số A và B, bạn lấy số lớn trừ bớt số nhỏ để có số C.
Bạn lại viết số C ngược lại để có số D.
Bạn cộng 2 số C và D rồi cho tôi biết kết quả”

Sau khi cho biết kết quả, bạn được bảo hãy lấy mảnh giấy trong túi ra xem. Vow! kết quả của bạn là 1089, đúng phóc như số đã ghi trên giấy!

Các phép tính mà bạn đã làm là:

Số bạn chọn:     A = 835

=> B = 538 => C = 835 – 538 = 297 => D = 792
=> C + D = 297 + 792 = 1089

Bài đố vui nầy chỉ biểu diễn được 1 lần! không có lần thứ hai, vì kết quả không tuỳ thuộc số bạn chọn, luôn luôn là 1089. Nhưng làm sao chứng minh được điều đó. Mời bạn thử xem.

*      *     *

Xét số A = abc       (a, b và c lần lượt là các con số hàng trăm, hàng chục và hàng đon vị)
Giả sử a lớn hơn c ít nhất 2 đon vị => a – c  ≥  2
Khai triển theo hệ thống thập phân:

A = 100a + 10b + c (1)

Hoán vị 2 con số hàng trăm và hàng đơn vị:

B = cba = 100c + 10b + a (2)

Vì A > B, trừ A với B để có C

=> C = A – B = 100(a – c) – (a – c) = 99(a – c) (3)

Đặt a – c = m, m là 1 con số lớn hơn hay bằng 2

=> C = 99m

Ta tìm cách viết C dưới dạng khai triển thập phân.

C = 90m + 9m = 10 x 9m + 1 x 9m     (4)

Vì 2 ≤ m ≤ 9 nên 18 ≤ 9m ≤ 81                   (5)

9m là một số gồm 2 con số.

Đặt 9m = 10u + v     với      1 ≤ u ≤ 8     và     0 ≤ v ≤ 9

Thay 9m theo u, v vào (4):

= > C = 10(10u + v) + 1(10u + v)
       C = 100u + 10(u + v) + v (6)

Ta tìm xem u + v nhỏ hơn 10 hay lớn hơn hay bằng 10 khi m thay đổi từ 2 đến 9 theo (5):

Khi m thay đổi, u + v ≤ 9 (và luôn luôn bằng 9)

(6) => C = 100u + 10(u + v) + v là dạng khai triển thập phân của C

Suy ra D, số viết ngược của C:

D = 100v + 10(u + v) + u                                       (7)
= > C + D = 100(u + v) + 20(u + v) + (u + v)
                  = 121 (u + v)

Thay u + v bằng 9, ta có:    C + D = 121 x 9 = 1089

Kết quả luôn luôn bằng 1089, không tuỳ thuộc số chọn A = abc

*      *      *

Suy rộng bài đố vui toán học (Thuận Hoà)

Cho số   A = abcde      với     a > e  và  b > d 

Viết số A ngược lai  để có số B => B = edcba

Trừ A và B đế có số  C = A – B = uvzxt

Viết ố C ngược lại để có số     D = txzvu

Chứng minh rằng tổng số C + D luôn luôn bằng 109890.

Thuận Hoà