Có một bài toán vui liên quan đến vòng tròn mà học sinh trung học thường đem ra đố nhau và các bạn ai cũng đều ngạc nhiên cho là đúng vì không ai giải thích được! Đó là bài toán chứng minh vòng tròn bằng đướng kính của nó !

Một em tỏ ra sành sỏi chứng minh tính chất đó như dưới đây:

a) Vẽ vòng tròn C tâm O, bán kính R, đường kính AB (Hình H1)

Chu vi của vòng tròn C bằng: C = 2π R

b) Vẽ tiếp 2 vòng tròn C1 và C2, đường kín OA và OB có tâm O1 và O2, bán kính bằng R/2 (Hình H2).

Chu vi của 2 vòng tròn C1 và C2 bằng: C1 = C2 = 2π(R/2) = πR
Suy ra:      C = 2πR = C1 + C2

c) Tiếp tục vẽ bên trong C1 và C2, 4 vòng tròn E1, E2, F1 và F2 có đường kính lần lượt là AO1, O1O, OO2 và O2B (Hình H3). Các vòng tròn nầy có bán kính là R/4 nên có chu vi bằng:

E1 = E2 =F1 = F2 = 2π(R/4) = πR/2

Suy ra:    C = 2πR = E1 + E2 + F1 + F2

d) Bên trong 4 vòng tròn E1, E2, F1 và F2 bán kính R/4, vẽ 8 vòng tròn X1, … , X8 có bán kính bằng R/8 (Hình H4). Các vòng tròn nầy có chu vi bằng 2π(R/8) = πR/4.

Suy ra:    C = 2πR = X1 + X2 + …… + X8

e) Tiếp tục vẽ theo cách trên, nếu có n vòng tròn nhỏ bán kính R/n, chu vi 2π(R/n), X1, X2, … , Xn, thì chu vi của vòng tròn C bằng:

C = 2πR = X1 + X2 + … + Xn

Khi n tăng đến vô hạn, tức là số các vòng tròn nhỏ tăng đến vô hạn, chu vi của các vòng tròn nhỏ 2π(R/n) giảm đến 0. Các vòng tròn nhỏ có tâm nằm hết trên đường kính AB của C và bán
kính giảm đến 0, nên ta có thể kết luận là các vòng tròn nhỏ tiến tới các điểm trên AB và tổng số chu vi của tất cả các vòng tròn nhỏ bằng độ dài của đường kính AB (‼)

C = AB      hay      2πR = 2R     =>      π = 1

Hiển nhiên, kết quả trên sai vì ai cũng biết là π = 3.1416…

Kết quả sai do lý luận sai, nhưng sai ở điểm nào? Mời độc giả tìm xem.

*       *       *

Để xét lý luận trên, trước hết ta phải phải hiểu thế nào là giới hạn. Giữa 2 đại lượng, giới hạn chỉ đặt ra khi ít nhất một đại lượng phải thay đổi theo một cách nào đó. Nếu cà 2 đại lượng đều cố định hay không thay đổi thì nói giới hạn là vô nghĩa. Hai đại lượng 1/1000 và 0 rất gần nhau nhưng không đại lương nào thay đổi, nói “1/1000 tiến tới 0” là sai. Với 2 đại lượng 1/n và 0. Đại lượng 1/n thay đổi theo n, ta có thể nói (và có thể chứng minh) “Khi n tiến đến vô cực, 1/n tiến đến 0”. (Trong toán học, để chứng minh đại lượng f(n) tiến đến đại lượng khi A khi n tiến đến vô cực, người ta phải chứng minh tính chất: “Với một số cực nhỏ ε (epsilon) bất kỳ, luôn luôn có 1 số n sao cho ||f(n) – A|| < ε.

Trở về bài toán của chúng ta. Khi số vòng tròn nhỏ tăng đến vô hạn, số các tâm O, O1, O2, … tăng đến vô hạn, nhưng tổng số chu vi của tất cả các vòng tròn nhỏ luôn luôn không đổi và bằng chu vi của vòng tròn C là 2πR.

Hai đại lượng: tổng số chu vi các vòng tròn nhỏ = 2πR và độ dài đường kính AB = 2R không thay đổi, nên nói đại lương nầy là giới hạn của đại lượng kia là một lý luận sai.

Thuận Hoà