Trên một tờ giấy cứng, bạn vẽ một hình vuông lớn. Chia hình vuông thành nhiều ô vuông nhỏ cạnh 1cm bằng những những đường thẳng ngang và dọc cách đều nhau.

Từ hình vuông lớn, bạn dùng kéo cắt ra 5 hình nhỏ (a), (b), (c), (d) và (e) như hình vẽ. Mỗi hình cắt ra có 4 ô vuông, gọi chung là Hình 4 ô (Tetromino) (Chú thích: Domino là hình 2 ô, Tromino là hình 3 ô và Pentomino là hình 5 ô). Trên một tờ giấy cứng khác, bạn vẽ một hình chữ nhật kích thước 4cm x 5cm, chia thành 20 ô vuông nhỏ cạnh 1 cm bằng những đường thẳng ngang và dọc cách đều nhau như hình vẽ (Hình A):

Với 5 hình 4 ô, bạn có tổng cộn 20 ô vuông nhỏ cạnh 1 cm. Hình A kích thước 4 cm x 5 cm
cũng có 20 ô vuông nhỏ cạnh 1 cm.

Bài toán:   Có thể nào bạn ráp 5 hình 4 ô (a), (b), (c), (d) và (e) vào trong hình chữ nhật A không? Các hình 4 ô có thể lật được.

Mời bạn nhín chút thời giờ suy nghĩ xem có cách nào ráp được 5 hình 4 ô vào trong hình chữ nhật 4×5 hay không, trước khi đọc lời giải thích của Thuận Hoà.

*     *     *

Nhiều người bỏ cả tiếng đồng hồ cố gắng tìm cho được lời giải của bài toán, nhưng sau cùng phải bỏ cuộc với kết luận là bài toán không giải được! Đúng hay Sai? Thưa đúng, không thể nào ráp được 5 hình 4 ô vào trong hình chữ nhật kích thước 4×5!

Nhưng còn câu hỏi:  Làm sao chứng minh được là bài toán không có lời giải?

Cách chứnh minh bài toán không có lời giải như sau:

Trước khi cắt các hình 4 ô từ hình vuông lớn, bạn tô đen (hay màu khác) xen kẻ các ô vuông, các ô đen xen kẻ với các ô trắng, như trên bàn cờ. Sau khi cắt ra các ô đen trắng cũng xen kẻ trên các hình 4 ô như hình vẽ. Bạn cũng tô đen xen kẻ các ô vuông trên Hình A như hình vẽ.

Hình vẽ cho thấy các ô tô đen. Bạn có thể đổi ngược lại, trắng thành đen, đen thành trắng. Điều đó không quan trọng vì các hình 4 ô có thể lật được.

Chắc bạn đã nhận xét được rằng: các hình 4 ô (a), (b), (c) và (d) đều có 2 ô trắng, 2 ô đen.
Riêng hình 4 ô (e) thì khác: hoặc có 3 ô trắng 1 ô đen (như trong hình), hoặc 3 ô đen 1 ô trắng.

Như vậy, số ô trắng và số ô đen trong 20 ô vuông của 5 hình 4 ô không bằng nhau: hoặc 11 ô trắng 9 ô đen (như hình vẽ), hoặc 9 ô trắng 11 ô đen.

Nhìn qua Hình A, bạn thấy số ô trắng và số ô đen chia đều: 10 ô trắng, 10 ô đen.

Dù bạn ráp 4 hình 4 ô (a), (b), (c) và (d) như thế nào, bạn che lấp được 8 ô trắng và 8 ô đen trên Hình A.

Như vậy, Hình A còn 4 ô, 2 ô trắng và 2 ô đen. Bốn ô nầy không thể che lấp được bằng hình 4 ô (e) vì (e) có số ô trắng và số ô đen không bằng nhau.

Nhận xét trên chứng tỏ bài toán không có lời giải !

Thuận Hoà