Xét tam giác vuông ABC vuông và cân tại A. Hai cạnh góc vuông AB và AC có độ dài bằng 1m. Theo định lý Pythagore, cạnh huyền có độ dài bằng √2 m. (Xem Hình 1).

AB² + AC² = BC² => BC² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
=> BC = √2 m

Bây giờ, bạn vẽ một dãy bậc thềm lấy cạnh huyền BC của tam giác làm đường chuẩn như trong Hình 2.

Trong Hình 2, dãy bậc thềm là BKULVMWNC, có 8 mặt có kích thước đều là:

BK = KU = UL = LV = ……. = NC = 1/4 m hay 0.25 m

Chiều dài của dãy bậc thềm thứ nhất trong Hình 2 bằng: (1/4 m) x 8 = 2 m.

Trong Hình 3, vẽ dãy bậc thềm thứ hai hẹp bằng 1/2 dãy bậc thềm thứ nhất trên Hình 2, có 16 mặt có kích thước đều:

BO = OI = IJ = JU = ….. = BK/2 = KU/2 = 1/8 m hay 0.125 m

Chiều dài của dãy bậc thềm thứ hai trong Hình 3 bằng: (1/8 m) x 16 = 2 m

Cứ thế tiếp tục, vẽ các dãy bậc thang thứ n hẹp bằng ½ dãy bậc thềm thứ n-1, có 2ⁿ⁺² mặt có kích thước đều (1 / 2ⁿ⁺¹) m.

Dãy bậc thềm thứ n cũng có chiều dài bằng:

2ⁿ⁺² x (1/2ⁿ⁺¹) = 2 m

Tóm lại, dãy bậc thềm dù hẹp thế nào cũng có chiều dài bằng 2 m.

Khi n càng lớn, dãy bậc thềm càng tiến gần đến cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC.
Độc giả có thể nghĩ rằng khi n tiếnt tới vô cực, dãy bậc thềm sẽ trùng với BC. Vì BC dài √2 m và dãy bậc thềm dù hẹp thế nào cũng dài 2 m, nên ta có thể kết luận:

√2 = 2

Kết quả trên rõ ràng là sai vì √2 = 1.4142…

Kết quả sai vì lý luận sai, nhưng lý luận sai ở điểm nào, mời độc giả tìm hiểu xem.

*     *     *

Cái sai trong bài toán nầy cũng giống như cái sai trong bài toán chứng minh “Vòng tròn bằng Đường kính của nó” (!), do hiểu lầm về định nghĩa của giới hạn.

Xin nhắc lại ở đây:

– Giữa 2 đại lượng, giới hạn chỉ có nghĩa khi có ít nhất 1 đại lượng thay đổi.
Hai số 0 và 1/10000 rất gần nhau, nhưng nói số 1/10000 tiến tới 0 là sai.
Nhưng, nói (và chứng minh) số 1/n tiến tới 0 khi n tiến tới vô cực thì đúng.

– Theo định nghĩa, hàm số f(x), x thay đổi, tiến tới đại lượng A khi với một số cực nhỏ ε (epsilon) bất kỳ, có một trị số x sao cho || f(x) – A|| < ε.

Trong bài toán bậc thềm, hai đại lượng: chiều dài của dãy bậc thềm không đổi, luôn luôn bằng 2 m và chiều dài của cạnh huyền cũng không đổi, luôn luôn bằng √2, nên nói chiều dài nầy tiến tới chiều dài kia là sai, là vô nghĩa‼

Trong bài toán bậc thềm, dãy bậc thềm có thể cùng ở bên nầy hay bên kia của cạnh huyền BC, kể cả trường hợp cạnh huyền BC xuyên giữa dãy bậc thềm như trong Hình 4 và 5.

Thuận Hoà