Hai bạn thân Cang và Hiền gặp nhau sau 10 năm xa cách. Trong lúc Hiền vẫn tỏ ra chậm chạp, ít nói, thì ngược lại, Cang lại tỏ ra lanh lẹ, sành sỏi. Sau một hồi trò chuyện huyên thiên, Cang rút trong túi dết ra một bộ bài 52 lá, chọn ra ba lá bài: 4 Bích, 7 Bích và Già Rô (Hình 1)

và giải thích với Hiền:

“Tôi trộn 3 lá bài nầy và úp xuống bàn. Bạn đưa tôi $5 và chọn 1 lá bài.
Nếu lá bài bạn chọn là Già Rô, tôi trả lại bạn $5. Nếu lá bài bạn chọn là 7 Bích,
tôi sẽ trả lại bạn $7, nhưng nếu lá bài đó là 4 Bích, tôi trả lại bạn $4.

Bạn có muốn tham gia trò chơi nầy hay không?”

Hiền bóp trán suy nghĩ, cân nhắc kỹ lưỡng các trường hợp thắng thua: huề nếu chọn Già Rô, thắng $2 nếu chọn 7 Bích, thua $1 nếu chọn 4 Bích. Hiền nghĩ: như vậy phần thắng trội hơn phần thua và nhận tham gia trò chơi Cang đề nghị.

Ba lá bài lật úp trên bàn (Hình 2)

Lá bài mà Hiền muốn chọn là 7 Bích.

Sau một hồi suy nghĩ, Hiền chọn lá bài bên trái, tin tưởng rằng đó là lá bài 7 Bích.

Không như Hiền tưởng là Cang sẽ nhanh chóng lật lá bài mình đã chọn lên để biết ăn thua, Cang chậm rãi nói với Hiền:

“7 Bích không phải là lá bài ở giữa (Hình 3), bây giờ tôi cho Hiền một cơ hội:
hoặc giữ lá bài đã chọn hoặc thay đổi ý kiến, chọn lá bài bên phải. Nào, xin bạn
quyết định nhanh.”

Hiền lý luận nhẩm trong đầu “Cang nó biết mình chọn đúng lá 7 Bích nên đề nghị như vậy. Nếu đổi ý chọn lá bài bên phải là mình trúng kế hắn ta”. Nghĩ thế nên Hiền không đổi ý, vẫn giữ sự lựa chọn lá bài bên trái.

Bạn thử suy nghĩ xem lý luận và lựa chọn của Hiền có đúng không? dựa trên lý luận toán học và giả thiết Cang là người bạn tốt, thẳng thắn, không có ý lừa phỉnh bạn mình.

*        *       *

Để giải thích sự đúng sai của lựa chọn một cách toán học, ta phải dựa vào xác suất:

–  Xác suất để sự lựa chọn lúc đầu đúng và quyết định không đổi sự lựa chọn.
–  Xác suất để sự lựa chọn lúc đầu sai và quyết định thay đổi sự lựa chọn.

Mỗi xác suất do 2 biến cố quyết định, biến cố sau tuỳ thuộc biến cố trước, nên ta phải dùng xác suất có điều kiện. Gọi:

A là biến cố “sự lựa chọn lúc đầu là đúng lá bài 7 Bích”
A’ là biến cố “sự lựa chọn lúc đầu là sai, tức không phải lá bài 7 Bích”
B là biến cố “Giữ nguyên sự lựa chọn lúc đầu”
B’ là biến cố “Thay đổi sự lựa chọn lúc đầu”
P(A) là xác suất để biến cố A xảy ra   => P(A) = 1/3
P(A’) là xác suất để biến cố A’ xảy ra => P(A’) = 1 – 1/3 = 2/3
P(B/A) là xác suất để sự lựa chọn lúc đầu là đúng và không đổi sự lựa chọn đó
P(B’/A’) là xác suất để sự lựa chọn lúc đầu là sai và thay đổi sự lựa chọn đó

Suy ra, áp dụng công thức về xác suất có điều kiện:

P(B) = P(B/A) x P(A) = 1 x 1/3 = 1/3
P(B’) = P(B’/A’) x P(A’) = 1 x 2/3 = 2/3

Như vậy, không biết lá bài chọn lần đầu như thế nào, nhưng thay đổi sự lựa chọn thì xác suất để được lá bài đúng 7 Bích là 2/3, gấp đôi xác suất nếu không đổi sự lựa chọn.

Thuận Hoà