Trong các buổi họp mặt với bạn bè, bạn có thể trổ tài với màn biểu diễn vui dưới đây.

Bạn viết một số bí mật trên một mảnh giấy nhỏ, xếp lại cẩn thận rồi nhét vào túi áo
của khách. Bạn đưa cho khách một mảnh giấy và một bút chì.

Bạn bảo khách nghĩ ra và viết lên giấy số thứ nhất gồm 3 con số có số hàng
đơn vị và số hàng trăm cách nhau ít nhất 2 đơn vị.

Bạn bảo khách viết thêm một số thứ hai bằng cách đọc ngược số thứ nhất
(đọc từ phải sang trái).

Lấy số lớn trừ đi số nhỏ để có số thứ ba.

Lại lật ngược số thứ ba để có số thứ tư.

Cộng số thứ ba với số thứ tư và cho bạn biết kết quả sau cùng.

Bạn bảo khách lấy mảnh giấy nhỏ trong túi áo ra, mảnh giấy mà bạn đã nhét vào túi
áo của khách lúc trước và đọc lớn số ghi trên mảnh giấy nầy.

Vow! Tài quá, số nầy giống y kết quả sau cùng mà khách đã tính đươc!

Chắc bạn thắc mắc, không biết số đó là bao nhiêu? Xin thưa, số đó là 1,089 !

Thí dụ, khách viết số thứ nhất: 681 với 6 – 1 = 5 ≥ 2

=> Số thứ hai: 186
=> Số thứ ba: 681 – 186 = 495
=> Số thứ tư: 594
=> Cộng số thứ ba vớí số thứ tư: 495 + 594 = 1,089
=> Kết quả sau cùng: 1,089

Trước khi đọc tiếp, mời độc giả tìm xem có gì bí mật trong màn biểu diễn nầy.

*       *       *

Thật ra, đó là một bài toán số học có thể được giải thích như dưới đây.

Gọi (abc) là số thứ nhất mà khách đã viết ra, thoả điều kiện a – c hay c – a ≥ 2.

Trong hệ thống thập phân, ta có:

Số thứ nhất:       (abc) = 100a + 10b + c           (1)
Số thứ hai:          (cba) = 100c + 10b + a           (2)

Giả sử a > c, thì:
Số thứ ba: (abc) – (cba) = 100(a – c) – (a – c) = 99(a – c)       (3)

Tìm cách phân tích 99(a – c) theo hệ thống thập phân.

Đặt a – c = k    với      2 ≤ k ≤ 9
=> 99(a – c) = 99k = 10 x (9k) + 1 x (9k)           (4)

Vì 2 ≤ k ≤ 9 nên 18 ≤ 9k ≤ 81

Vì 9k ≤ 100 nên ta có thể viết:
9k = 10u + v           (5)
u và v là 2 số nguyên nhỏ hơn 10.

Thay 9k theo u và v vào phương trình (4):
99(a – c) = 10(10u + v) + 1(10u + v) = 100u + 10(u + v) + v         (6)

Theo (5) thì 10u + v chia đúng cho 9. Theo điều kiện chia đúng cho 9 (Một số
chia đúng cho 9 khi tổng số các con số chia đúng cho 9), thì u + v chia đúng cho 9.
=> u + v = 9     hay       u + v = 18

Nếu u + v = 18 => u = v = 9 => 9k = 10u + v = 99 => không nhận được vì 9k ≤ 81
Như vậy thì u + v = 9.

Theo (6) => 99(a – c) = 100u + 10×9 + v
Rút gọn theo dạng số thập phân: 99(a – c) = (u9v)

=> Số thứ ba: (u9v) = 100u + 10×9 + v             (7)

Số thứ tư = Số thứ ba đọc ngược = (v9u) = 100v + 10×9 + u        (8)

Cộng vế (7) và (8), ta được:

Kết quả sau cùng = Số thứ ba + Số thứ tư = 100(u + v) + 180 + (u + v)

Thay u + v = 9

=> Kết quả sau cùng = 101 x 9 + 180 = 1,089

Kết quả nầy không tuỳ thuộc số thứ nhất mà khách đã nghĩ ra, miễn là số đó phải thoả
điều kiện nhỏ hơn 1,000 và sự cách biệt giữa 2 con số hàng trăm và hàng đơn vị phải ít
nhất bằng 2.

Bạn có thể tính u + v bằng cách cho k thay đổi từ 2 đến 9. Với mỗi trị số của k, tính trị
số của 9k và suy ra trị số của u + v từ (5).

Suy rộng bài đố vui toán học 

Cho số   A = abcde      với     a > e  và  b > d 

Viết số A ngược lai  để có số B => B = edcba

Trừ A và B đế có số  C = A – B = uvzxt

Viết ố C ngược lại để có số     D = txzvu

Chứng minh rằng tổng số C + D luôn luôn bằng 109890.

Thuận Hoà