ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP154 – Giả định Goldbach



Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có ước số là 1 và chính nó. Thí dụ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, . . . .

2 là số nguyên tố chẳn duy nhất. Có vô số số nguyên tố. Thật vậy, nếu ta có n số nguyên tố p1, p2, p3, … , pn thì số P = p1p2p3 …. pn + 1 chỉ chia đúng cho 1 và chính nó, nên P cũng là 1 số nguyên tố. Tính chất nầy cũng là 1 hệ luận của định lý Chebyshev “Với mọi số lớn hơn 1, luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố ở trong khoảng từ số đó đến gấp đôi số đó” (Xem “Nhà Toán học lang thang Paul Erdos” trong CP95).

Phương pháp đơn giản để biết một số X có phải nguyên tố hay không là nghiệm xem số đó có chia đúng cho những số nguyên tố (khác 1) nhỏ hơn hay bằng √X. Nếu không có số nào chia đúng X, thì X là số nguyên tố.

Một số không nguyên tố có thể phân tích thành tích số của nhiều số nguyên tố.

Thí dụ:   2646 = 2 x 33 x 72

Từ thời xưa, các nhà toán học cố tìm một công thức tổng quát giúp tìm các số nguyên tố nhưng đều thất bại. Chỉ có những giả định đang chờ chứng minh hay phản chứng! Thí dụ như định lý nhỏ của Fermat “Mọi số có dạng 2m + 1 với m = 2n là số nguyên tố”. Tính chất nầy đúng đến n = 4, nhưng nhà Toán học Leonhard Euler, sinh đúng 100 năm sau Fermat, đã khám phá ra rằng tất cả các số tìm được với n > 4 đều không phải là số nguyên tố!.

Số nguyên tố Mersenne cho bởi công thức 2n – 1, với n là một số nguyên tố > 1, cũng chưa phải là một định lý mặc dầu người ta đã tìm được mấy chục số Mersenne rất lớn, thí dụ như số Mersenn thứ 46 bằng 242643801 – 1 có đến 12,837,064 con số!

Về tính chất giữa các số nguyên tố, rất ít tính chất đã được chứng minh và đã thành định lý như định lý Chebyshev, định lý Green-Tao: “Trong dãy vô hạn các số nguyên tố, với 1 số nguyên k bất kỳ, có thể tìm được một dãy số số học có k số hạng”.

Thí dụ:     k = 4 => (13, 43, 73, 103), (23, 53, 83, 113)
k = 5 => (11, 41, 71, 101, 103)
k = 6 => (7 , 37, 67, 97, 127, 157)

Nhiều tính chất khác chỉ là giả định. Thí dụ:

Giả định Levy hay Lemoine: “Mọi số nguyên lớn hơn 5 có thể viết là tổng số của 1 số nguyên tố với 2 lần một số nguyên tố khác.”

Thí dụ: 47 = 13 + (2 x 17) = 37 + (2 x 5) = 41 + (2 x 3) = 43 + (2 x 2)

Phần còn lại của bài viết nầy xin dành đặc biệt để viết về một giả định có nhiều bí ẩn là:

 

Giả định Goldbach.

Năm 1742, nhà toán học tài tử và sử gia Christian Goldbach, sống tại St Peterburg và Moscow, gởi thư cho bạn là Leonhard Euler, nói rằng ông đã khám phá được một tính chất mà ông cho là đúng nhưng không chứng minh được! Tính chất đó là:

“Mọi số chẳn lớn hơn 2 có thể viết bằng tổng số của 2 số nguyên tố”     (1)

Euler phúc đáp rằng mặc dầu không chứng minh được, nhưng ông cũng tin là tính chất đó đúng. Tính chất đó ngày nay được gọi là “Giả định Goldbach”

Thí dụ: 10 = 3 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 30 = 13 + 17 = 11 + 19

Vì 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1 nên giả định Goldbach công nhận 1 cũng là số nguyên tố.

Nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh hay phản chứng giả định Goldbach nhưng đều thất bại mặc dầu những số chẳn rất lớn, nhỏ hơn 4×1018, đã được kiểm.

Giả định Goldbach phát biểu như trong (1) cũng thường được gọi là “Giả định Goldbach mạnh” để phân biệt một phát biểu khác gọi là “Giả định Goldbach yếu” như sau:

“Mọi số lẻ lớn hơn 7 có thể viết bằng tổng số của 3 số nguyên tố”     (2)

Không tìm được câu trả lời cho giả định Goldbach mạnh các nhà toán học lại chứng minh được là mọi số lẻ thật lớn có thể viết bằng tổng số của 3 số nguyên tố.

Thí dụ: 7105 = 1063 + 2593 + 3449 với 1063, 2593 và 3449 là 3 số nguyên tố

Thí dụ trên chỉ có tính cách tượng trưng. Số lẻ thật lớn mà các nhà toán học muốn nói ở đây phải có vài triệu con số ( N ≥ 3315 )

Một cách để giải quyết bế tắc của giả định Goldbach là nới rộng giả định ra với nhiều số nguyên tố. Năm 1930, Schnirelman chứng minh được rằng mọi số nguyên có thể viết bằng tổng số của nhiều nhất là 300,000 số nguyên tố.

Tháng 5 năm 2013, Harald Andréa Helfgott ở École Normale Superieure – Paris đã phổ biến một bản thảo dày 133 trang, chứng minh giả định Goldbach yếu “Mọi số lẻ lớn hơn 5 có thế viết bằng tổng số của 3 số nguyên tố”.

Gần đây, nhà toán học, sinh tại Úc, Terry Tao đã công bố một chứng minh cho giả định Goldbach yếu: “Mọi số lẻ có thể viết bằng tổng số của 5 hay ít hơn, số nguyên tố”.

Dĩ nhiên, nếu không có số 2 trong tổng số thì số số hạng chỉ có thể là 5 hay 3.

Công trình của Terry gây cảm hứng cho những người đang tìm cách chứng minh giả định Goldbach mạnh, nhưng chắc chắn, con đường đó còn xa.

Số nguyên tố còn nhiều tính chất ẩn tàng chờ đợi những nhà toán học tuấn tú khai thác, như lời Paul Erdos đã nói “Nếu người nào có thể nghĩ ra được một bài toán mà không ai giải được sau hơn một trăm năm, thì bài toán đó phải thuộc lý thuyết số”.

 

Thuận Hoà

 
%d bloggers like this: