Trong bản tin “Delphi For Fun” số 71, tôi tình cờ thấy được một bài toán là lạ với lời diễn tả như dưới đây (Xem http://delphiforfun.org/Programs/PiCalc2.htm):

“Một ngày nọ, có người nói với tôi rằng xác suất để 2 số bất kỳ nguyên tố sánh đôi là một số rất thú vị.
Thật vậy, nếu ta chia xác suất đó cho 6 rồi lấy căn số bậc hai của số nghịch đảo của kết quả, ta sẽ được trị số gần đúng của số Pi”

Chú thích của T.H.:

a) Hai số nguyên tố sánh đôi khi chỉ có ước số chung là 1
b) Nghịch đảo của số N/M là số M/N
c) Pi là thương số của chu vi vòng tròn với đường kính, π = 3.14159 …

Tác giả không giải thích tính chất bí hiểm đó, chỉ cung cấp một chương trình điện toán viết bằng ngôn ngữ Delphi. Chương trình nầy, khi khởi động, sẽ phóng ra những cặp số bất kỳ (cho tới khi nào bạn bấm “Stop”) và ghi nhận những cặp số nào có tính chất nguyên tố sánh đôi. Từ đó, chương trình sẽ tính xác suất và tính trị số gần đúng của Pi bằng công thức:

SQRT(6*Số cặp số có thể / Số cặp số nguyên tố sánh đôi)    (2)

Để kiểm chứng lại lời nhận xét (1), Thuận Hoà đề nghị quý độc giả giải bài toán cụ thể sau đây:

“Khi đổ 2 hạt xúc xắc vào tô, qua các nút trên 2 hạt xúc xắc, bạn có 2 số.

Tìm xác suất để 2 số đó nguyên tố sánh đôi.
Nghiệm rằng, nếu chia xác suất đó cho 6 rồi lấy căn số bậc 2 của nghịch đảo
của kết quả, sẽ có một trị gần đúng của số Pi.”

Hạt xúc xắc có 6 mặt nên các số cho bởi các mặt xúc xắc chỉ có thể từ 1 đến 6.

Cho số trên hạt xúc xắc 1 thay đổi từ 1 đến 6. Số trên hạt xúc xắc 2 nguyên tố sánh đôi với số trên hạt xúc xắc 1 trong các trường hợp như trong bảng dưới đây:

Bảng trên cũng bao gồm trường hợp hạt xúc xắc 2 thay đổi từ 1 đến 6 và số trên hạt xúc xắc 1 nguyên tố sánh đôi với số trên hạt xúc xắc 2.

Như vậy, có 22 trường hợp dể số trên 2 hạt xúc xắc nguyên tố sánh đôi.
Các trường hợp có thể xảy ra khi đổ 2 hạt xúc xắc có thế tính như sau:

Mỗi số trên hạt xúc xắc 1 ứng với 6 cặp số trên 2 hạt xúc xắc 1 và 2
Sáu số trên hạc xúc xắc 1 ứng với 6×6 = 36 cặp số trên 2 hạt xúc xắc 1 và 2

Như vậy, có 36 trường hợp có thể xảy ra cho 2 số trên 2 hạt xúc xắc.

Suy ra: xác suất để 2 số của 2 hạt xúc xắc nguyên tố sánh đôi bằng:

p = 22/36 = 11/18

Chia xác suất nầy cho 6:    p/6 = 11/(18×6) = 11/ 108

Số nghịch đảo của p/6 :     6/p = 108/11

Căn số bậc hai của 6/p:      Pi  ≈   SQRT(108/11) = 3.133        (3)

Kết quả nầy gần đúng với số   Pi = π = 3.14159 …

Nhận xét

Đáp số của bài toán trên cho thấy nhận xét của ai đó trong (1) là đúng, nhưng không giải thích được lý do tại sao lại có sự liên quan với số Pi như thế.
Theo Thuận Hoà thì đó chỉ là một sự tình cờ mà thôi, giống như nhiều chuyện đã xảy ra trong các bài toán vui.

Nếu thực sự có một sự liên quan giữa xác suất trong trường hợp nầy với số Pi thì khi số các mặt của hạt xúc xắc càng tăng thì trị gần đúng của số Pi tính theo công thức (2) phải càng gần với số Pi đúng. Điều đó đã không xảy ra.

Thật vậy, giả sử 2 hạt xúc xắc có 10 mặt đều nhau, tức là các số có thể xảy ra ở trong khoảng từ 1 đến 10. Có 100 trường hợp có thể xảy ra cho 2 số cho bởi 2 hạt xúc xắc. Trong 100 trường hợp đó, có 62 trường hợp 2 số nguyên tố sánh đôi.

Suy ra: p = 62/100 = 31/50 => p/6 = 31/300 => Pi ≈ SQRT(300/31) = 3.111

Trị số gần đúng nầy của Pi còn nhỏ hơn trị số trong (3).

Thuận Hoà