Chúng ta đã bàn nhiều về toán mẫu tự. Trong bài viết nầy, Thuận Hoà xin trình bày một hình thức khác của toán mẫu tự mà Thuận Hoà tạm gọi là “Toán Mẫu Tự Bậc Thềm”. Một bài toán cộng mẫu tự bậc thềm đơn giản có dạng như sau:

Bài toán gồm có 9 mẫu tự từ A đến I. Mỗi mẫu tự đại diện cho một số duy nhất trong dãy số:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9            (1)
Mỗi hàng và cột của bài toán đều có cùng tổng số S.

Câu hỏi của bài toán là:

“Xác định trị số nhỏ nhất của S và tìm trị của các mẫu tự sao cho các hàng và các cột đều có tổng số bằng S”.

Bài toán cỏ thể đặt dưới dạng hệ thống phương trình 10 ẩn số như sau:

A + B + C = S      (2)
C + D + E = S      (3)
E + F + G = S      (4)
G + H + I = S      (5)

Cộng vế 4 phương trình:

(A + B + C) + (C + D + E) + (E + F + G) + ( I + J + K) = 4S          (5)

hay

(A + B + C + D + E + F + I + J + K) + (C + E + G) = 4S (6)

Vì 9 mẫu tự từ A đến I có các trị khác nhau từ 1 đến 9, nên:
(A + B + C + D + E + F + I + J + K) = 1 + 2 + 3 + …. + 9 = 45

(6) => 45 + (C + E + G) = 4S        (7)

Trong (7), vế thứ hai chia đúng cho 4, nên (C + E + G) là số phải cộng thêm vào 45 để vế thứ nhất là một bội số của 4. Số cộng thêm nầy phải lớn hơn hay bằng 6, vì C, E, G phải khác nhau.

Bội số nhỏ nhất sau 45 thích hợp là 52, tức là (C + E + G) = 7.

Thay vào (7) => 45 + 7 = 52 = 4S => S = 52/4 = 13

Tóm lại, tổng số chung nhỏ nhất S phải tìm là S = 13.

C, E và G là 3 số bản lề của bài toán bậc thềm. Để C + E + G = 7, ta có thể chọn 3 số 1, 2 và 4.

Trị của các mẫu tự A, B, D, F, H và I phải khác 3 số bản lề 1, 2 và 4.

Để ý rằng A và B hoán vị được, H và I hoán vị được và lời giải có thể đọc từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên.

Để tìm được tất cả các nghiệm số của bài toán, không kể các hoán vị, ta cho A thay đổi trong 6 trị số 9, 8, 7, 6 ,5, 3 và tổng số chung của các hàng và cột bằng 13.

1) A = 9 => B = 3 duy nhất, C = 1

(E = 2 => D = 10 => Không nhận)
(E = 4 => D = 8
G = 2 => F = 7 , H = 5, I = 6)
=> Nghiệm 1      (Hình 2):

A = 9, B = 3, C = 1, D = 8, E = 4, F = 7, G = 2, H = 5, I = 6

2) A = 8 => B = 3 duy nhất, C = 2

(E = 1 => D = 10 => Không nhận)
(E = 4 => D = 7 ; G = 1 => F = 8 => Không nhận)

3)  a) A = 7, B = 3, C = 4

(E = 1 => D = 8; G = 2 => F > 9 => Không nhận)
(E = 2 => D = 7 => Không nhận)

b) A = 7 => B = 5, C = 1

(E = 2 => D > 9 => Không nhận)
(E = 4 => D = 8; G = 2 => F = 7 => Không nhận)

4) a) A = 6 => B = 3, C = 4

(E = 1 => D = 8; G = 2 => F > 9 => Không nhận)
(E = 2 => D = 7; G = 1 => F > 9 => Không nhận)

b) A = 6 => B = 5, C = 2

(E = 1 => D > 9 => Không nhận)
(E = 4 => D = 7; G = 1 => F = 8, H = 3, I = 9
=> Nghiệm, như trường hợp 1), Hình 2 đọc từ dưới lên)

5) a) A = 5 => B = 6, C = 2

=> Nghiệm, như trường hợp 4b) Hình 2 đọc từ dưới lên

b) A = 5 => B = 7, C = 1 => Như trường hợp 3b)

6) A = 3 => B = 9, C = 1 => Nghiệm, như trường hợp 1)

A = 3 => B = 8, C = 2 => Như trường hợp 2)
A = 3 => B = 6, C = 4 => Như trường hợp 4a)

Tóm lại, không kể các hoán vị  và hướng đọc của nghiệm số,
bài toán có 1 nghiệm số như trong Hình 2, với  S = 13.

Thuận Hoà