Các nhà toán học đã tốn nhiều thì giờ cho giả định thường được biết đến dưới tên là “Định lý cuối cùng của Fermat”. Giả định đó như sau:

Phương trình xⁿ + yⁿ = zⁿ, với x, y, z, n là số nguyên và n > 2 vô nghiệm

Mặc dầu chưa được chứng minh hay phản chứng minh (trước 1994), nhưng giả định của Fermat cũng được gọi là định lý vì theo bút tích để lại của Fermat thì ông đã biết cách chứng minh nhưng vì lề sách quá hẹp không đủ chỗ để ông viết chứng minh đó ra được!
Giả định Fermat có lẽ được gợi ý từ định lý Pythagore, nói rằng có vô số bộ ba số nguyên (x,y,z) thoả phương trình x² + y² = z². Như ta đã biết x, y là số đo của hai cạnh góc vuông và z là cạnh huyền của một tam giác vuông.

Dạng đơn giản của giả định Fermat đã lôi cuốn sự chú ý và say mê nghiên cứu của các nhà toán học chính danh cũng như nghiệp dư hơn ba trăm năm, cho đến năm 1994, Andrew Wiles đã may mắn tìm được cách chứng minh. May mắn vì Wiles đã tình cờ tìm thấy cách chứng minh giả định Fermat trong một công trình khảo cứu phức tạp hơn. Người ta không nghĩ là Fermat có thể chứng minh giả định của mình theo cách của Wiles vì nhiều khái niệm toán học không có ở thời Fermat. Đó là lý do mà sau năm 1994, vẫn còn nhiều bạn trẻ say mê toán học cố tìm cho ra cách chứng minh của Fermat bằng những khái niệm toán học đơn giản và trực tiếp hơn.

Gợi ý bởi “Định lý cuối cùng của Fermat”, năm 1993, tỉ phú Andrew Beal, một chủ ngân hàng say mê toán học, đã nghĩ đến một suy rộng của định lý, sau nầy được gọi là “Giả định Beal”.

Giả định Beal được “Ủy ban giải thưởng Beal” (Beal’s Prize Committee – BPC) do “Hội Toán học Mỹ quốc” (American Mathematical Society – AMS) bầu ra, định nghĩa như sau:

“Nếu A^x + B^y = C^z với A, B, C và x, y và z là số nguyên dương và x, y, z
đều lớn hơn 2 thì A, B và C phải có một thừa số chung nguyên tố.”

Các số A, B, C gọi là các số nền (base) của giả định Beal.

Người ta cũng biết được là Robert Tijdeman và Don Zagier cũng có nêu lên một giả định tương tự gọi là “giả định Tijdeman-Zagier”.

Giả định Beal thường được nhắc đến vì tỉ phú Andrew Beal có đặt ra một giải thưởng, lúc đầu là US$5,000 năm 1997, tăng đến $50,000 sau 10 năm và đến nay là US$1,000,000 !

Giá trị quá hấp dẩn của giải thưởng Beal và phát biểu đơn giản của giả định Beal có thể sẽ lôi cuốn các bạn trẻ say mê toán học muốn thử tài. Thuận Hoà xin mở dấu ngoặc để nói về điều kiện để lấy được giải thưởng Beal do “Uỷ ban giải thưởng Beal” nêu ra, như sau:

a) Chứng minh (proof) hay phản thí dụ (counterexample) phải được đăng trong tạp chí Toán học có uy tín trên thế giới
b) Bài không gởi trực tiếp cho AMS hay cho BPC hay cho Mr Beal. Bản thảo chưa đăng trong tạp chí không được cứu xét.
c) Công trình phải được đại đa số thành viên trong cộng đồng toán học thế giới chấp nhận ít nhất 2 năm sau khi phát hành.
d) Sau đó, BPC sẽ đánh giá xem công trình có xứng đáng hay không?

Chương trình Python để tìm phản thí dụ cho giả định Beal

Peter Norvig, một khoa học gia điện toán hiện là giám đốc khảo cứu của Google Inc, đã thực hiện một chương trình điện toán bằng ngôn ngữ Python để tìm một phản thí dụ cho giả định Beal, bằng cách tìm một một bộ 6 số nguyên dương (x,y,z,m,n,r) thoả điều kiện sau đây:

Không có những số nguyên dương x, y, z, m, n và r thoả phương trình x^m + yⁿ = x^r
với m, n, r > 2 và x, y, z nguyên tố sánh đôi (tức là gcd(x,y) = gcd(y,z) = gcd(x,z) = 1)

Chú thích: gcd (greatest common divisor) = ước số chung lớn nhất.

Norvig đã bỏ cuộc nửa chừng khi chạy chương trình vì máy không đủ lớn! Thật vậy, nếu các số nền x, y, z thay đổi đến 100,000 và các luỹ thừa m, n, r thay đổi đến 10, thì máy phải xử lý đến 1050 số với 1018 tổ hợp các số. Tìm “Peter Norvig” trên Google, bạn sẽ thấy chương trình nầy. Chúc bạn may mắn.

Thuận Hoà
Sydney, 2014