CP161 – Bài toán hình học giả tưởng
Có một bài toán hình học như sau:
Cho 4 vòng tròn bằng nhau có các tính chất sau đây:
a) Một vòng tròn cắt 2 trong 3 vòng tròn còn lại tại 2 điểm.
b) Tất cả các cung tròn giữa 2 điểm cắt nhau của các vòng tròn đều bằng 3 cm.
Xem Hình 1.
Tính chu vi của các vòng tròn.
Đó là bài toán mà Thuận Hoà gọi là bài toán hình học giả tưởng! Độc giả xin theo dõi kỹ lưỡng lời giải của bài toán nầy để có thể trả lời câu hỏi ở cuối bài: “Tại sao bài toán nầy được gọi là bài toán giả tưởng?” (tức là không có thật!)
* * *
Gọi O1, O2, O3 và O4 là tâm của 4 vòng tròn Và A, B, C và D là 4 giao điểm trên vòng tròn tâm O1 (Xem Hình 2)
Các vòng tròn bằng nhau và các cung nối 2 giao điểm có số đo bằng nhau:
=> Cung AB = Cung BC = Cung CD = 3cm
Suy ra: các dây chắn cung cũng bằng nhau:
=> AB = BC = CD
và các góc ở tâm chắn cung cũng bằng nhau. Gọi θ là các góc bằng nhau nầy:
Góc AO1B = Góc BO1C = Góc CO1D = θ
Vì O1A = O1B = O2A = O2B nên O1O2 là trung trực của dây cung AB
Suy ra: O1O2 là phân giác của góc AO1B.
Tương tự: O1O4 là phân giác của góc CO1D.
Tóm lại, các góc ở tâm O1 có số đo theo θ bằng:
Góc AO1O2 = Góc O2O1B = Góc CO1O4 = Góc O4O1D = θ/2
Góc BO1C = θ
Suy ra: Góc O2O1O4 = Góc O2O1B + Góc BO1C + Góc CO1O4 = θ/2 + θ + θ/2 = 2θ
Chứng minh tương tự , ta có:
Góc O3O4O1 = Góc O1O2O3 = O2O3O4 = 2θ
Tứ giác O1O2O3O4 có 4 góc bằng nhau nên mỗi góc bằng 360 độ / 4 = 90 độ
Góc O2O1O4 = 2θ = 90 độ chắn cung gồm 3 phần:
½ cung AB + cung BC + ½ cung CD = ½ 3cm + 3cm + ½ 3cm = 6cm
Nguyên vòng tròn => 360 độ = 4 x 90 độ => vòng tròn 4 x 6cm = 24cm
Tóm lại: chu vi của 4 vòng tròn là 24cm.
Câu hỏi: Tại sao bài toán trên gọi là bài toán giả tưởng?
Đáp:
Ta biết rằng chu vi vòng tròn bằng 2πR với R là bán kính vòng tròn.
Π là số vô tỉ nên chu vi của bất cứ vòng tròn nào cũng là 1 số vô tỉ.
Điều đó có nghĩa là không thể nào có một vòng tròm mà chu vi là 1 số hữu tỉ (số có thể viết dưới dạng phân số).
Không thể nào có vòng tròn có chu vi bằng 24 cm, cũng như không thể nào có 1 cung trên vòng tròn có số đo là 3cm!
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 