CP162 – Định lý Pythagore – Lịch sử và Chứng minh
Định lý Pythagore (Pythagorean Theorem) liên quan đến 3 cạnh của tam giác vuông. Ba cạnh của tam giác ABC vuông tại C, có độ dài của 2 cạnh góc vuông
CA = b, CB = a và cạnh huyền AB = c, thoả hệ thức:
a2 + b2 = c2
Đó cũng là điều kiện ắt có và đủ để có một tam giác vuông.
Theo Jacob Bronowski, cho đến ngày nay, định lý Pythagore vẫn còn là một định lý đơn độc quan trọng trong thế giới toán học.
Mặc dầu có nguồn gốc hình học, định lý Pythagore đã hiện diện trong gần hết các ngành của khoa học lý thuyết và ứng dụng. Có rất nhiều người đã chứng minh định lý đó, có chứng minh đơn giản nhưng cũng có chứng minh rất phức tạp. Nhà bác học Albert Einstein đã chứng minh định lý đó lúc mới 12 tuổi. Định lý Pythagore cũng được biết đến dưới nhiều tên khác như “định lý về cạnh huyền” (hypotenuse theorem) hay đơn giản là “Euclid I 47” vì định lý đã được viết dưới Mệnh đề 47 trong Quyển I của Sơ luận Euclide (Euclid’s Elements). Hình ảnh tượng trưng của định lý Pythagore theo vài phong tục là “Máy xay gió”
Theo phong tục khác là cái “Ghế cô dâu”. Các hình ảnh nầy đã được lấy làm biểu tượng cho địa cầu khi tiếp xúc với các các hành tinh khác.
Định lý Pythagore giữ vai trò chủ yếu trong nhiều áp dụng như tem thư, ăn mặc, nghệ thuật, âm nhạc, …
Tính chất hình học của định lý Pythagore thực ra đã được biết từ thời người Babylonians trước cả thời Pythagoras, nhưng chính Pythagoras là người đầu tiên đã chứng minh đươc định lý đó từ 2500 năm trước. Vào thời đó, Pythagoras xem định lý đó như là một phát biểu về diện tích. Ngày nay, chúng ta thường nghĩ đến định lý Pythagore dưới dạng hệ thức đại số
a2 + b2 = c2.
Nhiều tác giả đã có lời ca tụng định lý Pythagore. Charles Lutwidge Dodgson dưới tên Lewis Carroll, tác giả của truyện “Alice’s Adventures in Wonderland” và “Through the Looking Glass” đã viết năm 1895 “Nó có một vẻ đẹp chói lọi ngày nay cũng như ngày mà Pythagoras chứng minh được nó”. Năm 2004, tạp chí “Physics World” mời độc giả chọn 20 công thức đẹp nhất trong khoa học.
Kết quả là: 1) công thức Euler eiπ + 1 = 0; 2) Bốn công thức về điện từ trường của Maxwell; 3) Quy luật thứ hai về chuyển động của Newton F = ma và
4) a2 + b2 = c2. Để ý rằng tiêu chuẩn lựa chọn chỉ là “đẹp nhất”, không có khía cạnh khác như áp dụng chẳng hạn.
Chứng minh định lý Pythagore
Ở thời Tung cổ, thí sinh thi lấy bằng Master về Toán phải trình bày một chứng minh định lý Pythagore do chính mình tìm ra. Elisha Scott Loomis (1852-1940), một giáo sư Toán ở Ohio đã sưu tập được 371 chứng minh và trình bày trong sách “The Pythagorean Proposition” năm 1927.
Chứng minh của Pythagoras
Chứng minh nầy đơn giản và gọi là chứng minh bằng cách xếp đặt lại.
Hai hình vuông lớn trong hình, mỗi hình vuông chứa 4 tam giác giống nhau, chỉ khác nhau là 4 tam giác có cách sắp xếp khác nhau.
Diện tích của 4 tam giác trong 2 hình bằng nhau và bằng 4 x ab/2 = 2ab
Diện tích của 2 hình vuông lớn bằng nhau và bằng (a + b)2
Suy ra: Diện tích của phần trắng trong 2 hình vuông bằng nhau: a2 + b2 = c2
Chứng minh của Euclide
Chứng minh của Euclide được xem là chứng minh nổi tiếng nhất trong số những chứng minh của định lý Pythagore với một hình vẽ giống như “Ghế cô dâu”, được lấy làm biểu tượng của địa cầu khi tiếp xúc với người của hành tinh khác.
ΔABF = ΔAEC vì AE = AB, AF = AC và
∠BAF = ∠BAC + ∠CAF = ∠CAB + ∠BAE = ∠CAE.
Tương tự: ΔBAK = ΔBDC
ΔABF có cạnh đáy AF và đường cao tương ứng AC (vì BC // AF)
=> dt(ΔABF) = ½ AF.AC = ½ dt(ACGF) = ½ b2 (1)
Tương tự: ΔBAK có cạnh đáy BK và đường cao tương ứng BC (vì AC // BK)
=> dt(ΔBAK) = ½ BK. BC = ½ dt(BCHK) = ½ a2 (2)
Cộng vế (1) và (2):
=> dt(ΔABF) + dt(ΔBAK) = ½ (b2 + a2)
=> dt(ΔAEC) + dt(ΔBDC) = ½ (b2 + a2) (3)
ΔAEC có cạnh đáy AE và đường cao phát xuất từ C bằng MA (vì CM // AE)
=> dt(ΔAEC) = ½ AE. MA = ½ dt(AELM)
Tương tự: ΔBDC) có cạnh đáy BC ướng cao phát xuất từ C bằng MB (vì CM // BD)
=> dt(ΔBDC) = ½ BD. MB = ½ dt(BDLM)
Thay dt(ΔAEC) và dt(ΔBDC) vào (3)
=> ½ dt(AELM) + ½ dt(BDLM) = ½ (b2 + a2)
=> ½ dt(ABDE) = ½ (b2 + a2) => ½ c2 = ½ (b2 + a2) => c2 = a2 + b2
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 