Trong 4 nhà toán học được huy chương Fields năm 2014, có  Manjul Bhargava, nhờ những kết quả đạt được trong lý thuyết số (number theory).

Bhargava sinh năm 1974 tại Canada, lớn lên tại Mỹ và trải nhiều thì giờ tại Ấn độ. Ông đổ bằng Tiến sĩ năm 2001 tại Princeton University dưới sự hướng dẩn của Andrew Wiles (người đã giải được định lý cuối cùng của Fermat) và trở thành giáo sư tại Princeton năm 2003. Từ năm 2003 đến nay, Bhargava đoạt được nhiều giải thưởng uy tín về toán học và được bầu vào hàn lâm viện khoa học Mỹ quốc năm 2013.  Manjul Bhargawa nghiên cứu về lý thuyết số và tạo được nhiều ảnh hưởng trong lãnh vực nầy.

Ảnh: IMU (International Mathematical Union)

Một trong những thành tựu của Bhargava là công trình chung với Jonathan Hanke về một định lý gọi là định lý 290  (“290-Theorem”)

Định lý nầy có nguồn gốc từ thời Pierre de Fermat (1601-1665), mục đích tìm trả lời cho câu hỏi “có biểu thức bậc hai nào có thể biểu diễn tất cả số tự nhiên hay không?”.  Thí dụ:

Với x = 2, y = 3  thì  x² + y² =   4 +   9 = 13
Với x = 4, y = 5  thì  x² + y² = 16 + 25 = 41

Không phải mọi số  tự nhiên đều có thể viết dưới dạng bình phương của 2 số  x² + y².

Cũng vậy, không phải mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng bình phương của 3 số   x² + y² + z²

Nhưng tiến xa thêm bước nữa, thì kết quả lại khác. Năm 1770, nhà toán học nổi tiếng  Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) đã phát biểu là mọi số tự nhiên có thể viết dưới dạng tổng số của bốn bình phương x² + y² + z² + w² (tức là: với một số tự nhiên bất kỳ, có thể tìm được bốn số tự nhiên x, y, x và w sao cho x² + y² + z² + w² bằng số đó).

Thí dụ:

0 = 0² + 0² + 0² + 0²   ;           1 = 1² + 0² + 0² + 0²

2 = 1² + 1² + 0² + 0²   ;           3= 1² + 1² + 1² +

………..

30 = 1² +2² + 3² + 4²  ;           41 = 1² +2² + 2² + 2⁵

Nếu tò mò, bạn có thể đặt câu hỏi: “Còn biểu thứ bậc hai 1x² + 2y² + 3z² + 4w² có biểu diễn được tất cả các số tự nhiên không?”.  Câu trả lời là có, theo nhà toán học tự học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan năm 1916, 150 năm sau kết quả của Lagrange. Biểu thức bậc hai trên được viết tắt là [1,2,3,4]. Cùng biểu thức trên, Ramanujan còn liệt kê ra 55 biểu thức khác như dười đây:

Theo Bhargava, trong 55 biểu thức trên, có 54 biểu thức đúng, có thể biểu diễn mọi số tự nhiên, trừ một biểu thức không biểu diễn được số 15! Bạn thử tìm xem biểu thức nào?.

Theo nhận xét của Bhargava, khi bạn tìm những số tự nhiên mà một biểu thức bậc hai có thể biểu diễn, không lâu bạn sẽ có nhận xét là: “khi biểu thức có thể biểu diễn một tập hợp số tự nhiên nào đó, thì biểu thức có thể biểu diễn tất cả các số tự nhiên”.

Năm 1990, John H. Conway phát biểu là nếu một biểu thức bậc hai có thể biểu diễn những số tự nhiên nhỏ hơn 290, thì biểu thức đó có thể biểu diễn tất cả các số tự nhiên.

Conway và các sinh viên của ông đạt được nhiều tiến triển trong công trình của mình nhưng phải đợi đến khi Bhargava và Hanke vào cuộc thì bài toán 290 mới được giải quyết hoàn toàn.  Bằng những tính toán phức tạp, Bhargava và Hanke đã đi đến kết luận:

“Nếu một biểu thức bậc hai có thể biểu diễn 29 số tự nhiên

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29,

30, 31, 34, 35, 37,  42, 58, 93, 110, 145, 203  và  290

thì biểu thức đó có thể biểu diễn tất cả các số tự nhiên”

Đó là định lý 290.

Ngoài Định lý 290, Bhargava cũng tìm ra được “Định lý 33”  như sau:

“Nếu một biểu thức bậc hai có thể biểu diễn 7 số tự nhiên:

                        1,  3,  5,  7,  11,  15  và  33

                    thì biểu thức đó có thể biểu diễn mọi số tự nhiên lẻ”

Thuận Hoà