ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP171 – Bài toán cộng mẫu tự với 9 con số

Bạn có thể tìm thấy đâu đó trong các tạp chí giải trí bài toán mẫu tự sau đây:

image002

với mỗi mẫu tự thay thế cho một con số duy nhất tứ 1 đến 9.

Tạp chí cũng cho biết (mà không giải thích) một đáp số của bài toán là (2).

Thật ra, bài toán mẫu tự (1) có rất nhiều đáp số. Trong bài viết nầy, Thuận Hoà mời độc giả cùng nghiên cứu một phương pháp tổng quát giúp tìm được tất cả các đáp số của bài toán   (1).

*     *    *

Nhận xét đầu tiên:

a) Hai số hạng ABC và DEF có thể hoán vị được. Hai đáp số khác nhau do hoán vị chỉ kể là 1 đáp số.

b) Có 9 mẫu tự khác nhau, nên tất cả các con số từ 1 đến 9 đều được sử dụng.
=> Tổng số các số từ 1 đến 9 là 45:

A + B + C + D + E + F + G + H + I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45   (3)

c) Giả sử bài toán (1) không có số giữ, tức là:

A + D = G < 10;   B + E = H < 10;    C + F = I < 10

Thay các tổng số trên vào (3), ta được: 2(G + H + I) = 45

Hệ thức trên có vế thứ nhất là số chẳn, vế thứ hai là số lẻ, nên không chấp nhận được. Như vậy, bài toán (1) ắt phải có số giữ, số giữ nầy có thể xảy ra ở cột hàng đơn vị (tức là C + F > 10) hay ở cột hàng chục (tức là B + E > 10) hay ở cả 2 cột hàng đơn vị và cột hàng chục, nhưng không thể xảy ra ở cột hàng trăm.

d) Giả sử số giữ xảy ra ở cả 2 cột hàng đơn vị và hàng chục, ta có:

C + F = 10 + I
B + E + Số giữ 1 = 10 + H
A + D + Số giữ 1 = G

Cộng vế 3 hệ thứ trên, ta được:

A + B + C + D + E + F + 2 = 20 + G + H + I           (4)

Thay A + B + C + D + E + F = 45 – (G + H + I) theo (3) vào (4):

45 – (G + H + I) + 2 = 20 + (G + H + I)
=> 2(G + H + I) = 27 =>  Không nhận được

Tóm lại: số giữ chỉ có thể xảy ra ở cột hàng đơn vị hay cột hàng chục.

 

A) Tìm đáp số nếu số giữ xảy ra ở cột hàng đơn vị:

C + F = 10 + I          (5)
B + E + Số giữ 1 = H
A + D = G

Cộng vế 3 hệ thức trên:

A + B + C + D + E + F + 1 = 10 + G + H + I         (6)

Thay A + B + C + D + E + F = 45 – (G + H + I) theo (3) vào (6):

45 – (G + H + I) + 1 = 10 + (G + H + I)
=> 2(G + H + I) = 36 => G + H + I = 18             (7)
G > 2   và   H > 2   và   I ≤ 7

1) I = 1 => G + H = 17 => (G,H) = (9,8)

Số chưa dùng: 2, 3, 4, 5, 6, 7 => (C,F) = (5,6) và (4,7)

a) (C,F) = (5,6) => Số chưa dùng: 2, 3, 4, 7
=> A + D = 9 => (A,D) = (2,7); B + E + 1 = 8 => (B,E) = (3,4)
=> Đáp số 1:     235 + 746 = 981

b) (C,F) = (4,7) => Số chưa dùng: 2, 3, 5, 6
=> A + D = 9 => (A,D) = (3,6); B + E + 1 = 8 => (B,E) = (2,5)
=> Đáp số 2:   324 + 657 = 981

Vì giới hạn của bài viết, với các trị khác của I, Thuận Hoà chỉ cho biết kết quả như sau:

2) I = 2 =>   Đáp số 3:    314 + 658 = 972
3) I = 3 =>   Đáp số 4:    215 + 748 = 963
=>   Đáp số 5:    214 + 659 = 873
4) I = 4 =>   Đáp số 6:    216 + 738 = 954
5) I = 5 =>   Đáp số 7:    317 + 628 = 945
6) I = 6 =>   Đáp số 8:    317 + 529 = 846
7) I = 7 =>   Đáp số 9:     218 + 439 = 657

B) Tìm đáp số nếu số giữ xảy ra ở cột hàng chục:

C + F = I
B + E = 10 + H với I > 2, G > 2 và H ≤ 7
A + D + Số giữ 1 = G

image004

Khảo sát như trong phần A bằng cách cho H thay đổi từ 1 đến 7, ta cũng sẽ được 9 đáp số khác.

Thật ra, sự khảo sát nầy không cần thiết vì các đáp số mới nầy có thể suy ra từ các đáp số trong phần A bằng cách đem cột hàng trăm qua mặt thành cột hàng đơn vị như thí dụ bên đây

Tóm lại: Bài toán cộng mẫu tự với 9 con số có ít nhất là 18 đáp số.

 

Thuận Hoà

 
%d bloggers like this: