ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP175 – П  và  Φ (Bài 1)


Tác giả: Trần Văn Khởi & Bình Nguyên



Lời nói đầu:    Tuần này, Thuận Hoà xin nhường xẻo đất “Chuyện Phiếm Khoa Học” cho hai tác giả Trần Văn Khởi và Bình Nguyên để hầu chuyện với quý độc giả về hai hằng số trong Toán học, tuy quen thuộc nhưng có nhiều tính chất thú vị. Đó là số π (Pi)  và tỉ số vàng Φ(Phi).
Đọc Vui và Suy Nghĩ thành thật cám ơn sự đóng góp của hai tác giả.

*    *    *
Từ khi học trung học cho đến sau này ra đời, nhất là đối với những ai liên hệ nhiều đến khoa học kỹ thuật, chúng ta đã gặp và nhớ mãi nhiều hằng số toán lý hóa.  Trong bài này, chúng tôi viết về hai hằng số π và Φ, để kỷ niệm những tháng ngày học toán  chung với nhau niên khóa 1959-60, và cùng ca ngợi tình người bao la và tình đồng môn đẹp đẽ. Bài này cũng đã được gửi cho Kỷ Yếu Đồng Môn của  khóa 57-60 là khóa hai tác giả cùng chung lớp với nhau ba năm ở trường Chu Văn An Saigon.

Bài 1:   Số π

Ngay từ các năm cuối tiểu học, chúng ta đã làm quen với π khi học chu vi của vòng tròn. Ai cũng còn nhớ:

Chu vi vòng tròn = π × đường kính

trị số của π là 3.1415926535….  và còn dài nữa, số lẻ vô tận. Đến nay thì người ta có thể tính π tới 10 ngàn tỉ số lẻ.

Euler quảng bá ký hiệu π

Người đầu tiên đề nghị dùng chữ π trong công thức tính chu vi vòng tròn là ông William Jones, vào năm 1706, nhưng phải chờ 30 năm sau, khi Euler dùng ký hiệu đó trong tính toán và trong các thư từ trao đổi với các toán học gia đương thời thì ký hiệu  π mới được chấp nhận rộng rãi.

Đặc tính

Lúc này thì người ta biết rằng π là một số vô tỉ, nghĩa là không thể diễn đạt thành một phân số, và có vô tận số lẻ. Nhờ máy tính điện tử, qua hàng tỉ số lẻ của π, người ta thấy rằng các số lẻ này đều là ngẫu nhiên, không theo một thứ tự hay mẫu mực nào cả. Ngoài ra, π cũng là một số siêu việt, nghĩa là π không phải là nghiệm số của một đa thức nào. Vì π là số siêu việt nên không thể vẽ π bằng thước và compa, và do đó không thể dùng thước và compa mà vẽ một hình vuông có diện tích bằng một vòng tròn (không thể “squaring a circle” ).

Ước lượng trị số π

Từ ngàn xưa, nhiều người đã biết trị số của π là vào khoảng 3.

Ước tính trị số π cổ xưa nhất là ở Ai Cập và Babylon vào khoảng 1900-1600 trước tây lịch (TTL), với sai số chỉ trong vòng 1%: Đó là 25/8 = 3.125 và (16/9)2  = 3.1605. Ở Ấn Độ vào khoảng 600 TTL cũng có ghi lại ước lượng của π rắc rối hơn, là (9785/5568)2  = 3.088. Đến khoảng 150 TTL thì có một ước lượng khác là  √10 = 3.1623. Những ước lượng này không thấy ghi căn bản tính như thế nào.

Ước tính dựa trên đa giác đều

Cách tính π có căn bản vững vàng đầu tiên là dựa trên các đa giác đều, do Archimedes tìm ra khoảng 250 TTL. Cách tính này tồn tại cả ngàn năm, cho đến khoảng thế kỷ thứ 17 khi π được tính theo các cấp số vô tận. Archimedes vẽ các đa giác đều 96 cạnh nội tiếp và ngoại tiếp một vòng tròn, rồi tính chu vi của các đa giác đều này. Archimedes suy ra được rằng π ở trong khoảng giữa 223/71 và 22/7, nghĩa là π ở trong khoảng từ 3.1408 tới 3.1429.

Ở Trung Hoa đời nhà Vệ khoảng năm 265 có nhà toán học dùng một đa giác 3072 cạnh và tính được trị số của π là 3.1416. Vào năm 480, một nhà toán học khác dùng đa giác 12288 cạnh và tính được π là 355/113 = 3.1415929, đúng tới số lẻ thứ 6.

Đến năm 1621 thì một nhà thiên văn học người Áo tên là Griegenburger đã dùng phương pháp đa giác và tính được π  đúng được tới 38 số lẻ, coi như là ước tính chính xác nhất dựa trên phương pháp đa giác đều.

Tính π bằng cấp số vô tận

Cách ước tính π được hoàn toàn thay đổi kể từ khi có phát kiến về những cấp số vô tận, nghĩa là những tổng số hay tích số mà số số hạng nhiều đến vô tận. Theo tài liệu ghi lại thì công thức tính π dùng cấp số vô tận đầu tiên là do một nhà thiên văn Ấn Độ vào thế kỷ thứ 15, tính được tới 11 số lẻ.

Qua thế kỷ thứ 17, sau khi π được đưa vào lượng giác để đo góc bằng đơn vị radian (một vòng tròn là 360 độ hay là 2π radian), và nhất là sau khi Newton và Leibniz phát minh ra các tính vi phân và tích phân, thì có nhiều công thức tính π dựa trên cấp số vô tận. Một công thức được nhiều người sử dụng là:

Arctan (1) = π/4 = 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11)……

hay        π = 4 – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) …..

Một nhà toán học người Anh đã dùng công thức này và tính được π với 39 số lẻ. Chính Newton cũng đã tự mình tính được π với 15 số lẻ, rồi về sau thú nhận : “Tôi rất ngượng nói cho các bạn biết tôi đã tính được π tới ngần ấy số lẻ; khi đó tôi không có gì để làm cả.”

Tính π bằng máy tính điện tử

Qua giữa thế kỷ thứ 20, cách tính π lại qua một bước tiến nhảy vọt: năm 1949, hai nhà toán học Mỹ Wrench và Smith đã dùng máy tính để bàn (desk calculator) và tính π tới 1120 số lẻ. Cùng thời gian đó, nhà toán học von Neumann đã dùng máy tính điện tử đầu tiên ENIAC, tính π trong 70 giờ liền và đạt tới được 2037 số lẻ, một kỷ lục lúc đó. Đến năm 1973 thì lần đầu tiên tính được π tới số lẻ thứ 1 triệu. Kỷ lục lập được vào năm 1999 là 206 tỉ số lẻ, nếu in thành khổ chữ như báo Le Figaro ở Pháp thì phải thành 10 năm báo.

Tính số lẻ làm gì ?

Trong khoa học cũng như trong đời sống, tính π tới vài chục số lẻ thì cũng đủ quá rồi. Thật vậy, chỉ cần 39 số lẻ cũng đã có thể tính đúng được thể tích của cả vũ trụ mà sai số chỉ có là một nguyên tử. Nhưng qua bao nhiêu năm, người ta vẫn muốn tính và nhớ được nhiều số lẻ của π hơn, phần lớn là vì nhiều người muốn chứng tỏ mình làm được, tạo ra một kỷ lục mới. Nhưng số lẻ của π cũng được dùng để thử nghiệm các máy tính điện thử mới, xác nhận các phương thức tính toán mới, và tối thiểu cũng xác nhận rằng các số lẻ của π đều lung tung, không theo một thứ tự hay mẫu mực nào cả.

Các công thức có π

Vai trò của π bắt đầu từ trong hình học rồi lần lần lan qua lượng giác, sác xuất, vật lý, tới thủy động học, gần như là khắp mọi ngành của khoa học. Qua mấy lớp trung học, chúng ta còn có thể nhớ vài công thức có π như:

– chu vi vòng tròn: 2πr;  diện tích vòng tròn: πr2 ; thể tích hình cầu: (4/3) πr3 ; diện tích hình cầu: 4πr2 ;

– sin π/4  =  cos π/4  = √2 /2 ; sin π/2 = 1 ; cos π/2 = 0 ; sin π = 0 ; cos π = -1;

– chu kỳ con lắc: T = 2π√(L/g) ; L là chiều dài con lắc, g là gia tốc trọng trường. Ai học lớp 1B1 với tụi tôi thì chắc  còn nhớ bài dạy này của Cụ Hoàng Cơ Nghị.

– luật Coulomb: F= (q1q2)/4πεr2.

Phương trình toán của nhân loại

Một phương trình được coi như là tao nhã nhất trong toán học, là tiêu biểu cho văn minh toán học của nhân loại, đã do chính Euler khám phá như sau:

eiπ   + 1 = 0

Phương trình này không những chỉ có 0, 1, + và  =, mà còn có π, cơ số logarithm neper e (= 2.71828….) và số ảo i (= √-1 ), là những  khái niệm căn bản nhất của toán học. Có người nói phương trình này đã được phi hành gia Mỹ lưu lại trên mặt trăng để đánh dấu văn minh nhân loại từ địa cầu.

Nhớ số lẻ của π

Một trong những chuyện thú vị liên hệ tới π là tìm cách nhớ số lẻ của π; ai trong chúng ta hồi nhỏ cũng đã ráng thử. Do ảnh hưởng của Pháp, Mỹ,  hầu hết chúng ta đều có thể nhớ câu:

“ Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages ” hoặc ”But a time I spent wondering in gloomy night”, để suy ra π là: 3.1415926535.

Một người Anh đã nghĩ ra câu: “How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics ” để nhớ 3.1415926535 8979, thêm được 4 số lẻ nữa.

Kỷ lục nhớ số lẻ của π đến nay, có Guiness World Records ghi nhận đàng hoàng, là 67890 số lẻ, do một người Trung Hoa tên là Lu Chao đọc trong 24 giờ 4 phút, vào ngày 20 tháng 11 năm 2005.

Ngày π

Nhiều trường đại học ở Mỹ có tổ chức ngày π, vào ngày 14 tháng 3 dựa theo cách viết March 14 là 3/14; thường là vào lúc 15 giờ cho đúng với 3.1415. Ngoài ra, π tiếng Anh đọc là “pai”, đồng âm với “pie” là một loại bánh thường để tráng miệng nhưng cũng có dịp làm để ném vào mặt nhau chơi. Trong ngày π, mọi người tham dự được dịp nói chuyện về π, và ném pie vào mặt nhau.

 

Mời xem tiếp  “Bài 2:  Tỉ lệ vàng Φ” tuần tới

 

 
%d bloggers like this: