ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP176 – П  và  Φ (Bài 2)


Tác giả:   Trần Văn Khởi & Bình Nguyên

 

Lời nói đầu:    Tuần này, Thuận Hoà xin nhường xẻo đất “Chuyện Phiếm Khoa Học” cho hai tác giả Trần Văn Khởi và Bình Nguyên để hầu chuyện tiếp với quý độc giả về hai hằng số trong Toán học, tuy quen thuộc nhưng có nhiều tính chất thú vị. Đó là số π (Pi) và tỉ số vàng Φ (Phi).
Đọc Vui và Suy Nghĩ thành thật cám ơn sự đóng góp của hai tác giả.

*    *    *

Bài 2:   Tỉ số vàng  Φ


Trái với π được học từ nhỏ, Φ là một hằng số, một khái niệm chúng tôi mới tìm gặp và để ý sau này. Trong khi π được coi như là tiêu biểu cho khoa học, chính xác và khách quan thì Φ, tuy nguyên gốc từ toán học, lại được coi như là biểu hiện cho cái đẹp và sự sống; vì thế cảm nhận về Φ như thiên nghiêng nhiều hơn về chấp nhận chủ quan.

Đẹp theo ta

Theo văn hóa mình, có tròn thì cũng có vuông. Vuông tròn là đầy đủ, là êm thắm, là trọn vẹn. Nhưng vuông tròn không nhất thiết là đẹp.

Lá trúc che ngang mặt chữ điền

hình dung một khuôn mặt đằm thắm, phúc hậu mà không hẳn là khuôn mặt đẹp. Theo quan niệm thông thường thì khuôn mặt đẹp là có hình trái soan, nhưng lại không thấy định rõ kích thước dọc ngang của trái soan phải như thế nào.

Đẹp theo tây phương: tỉ lệ vàng

Từ ngàn xưa, các nhà toán học Hy Lạp đã để ý về một tỉ lệ thấy nhiều trong hình học. Đưa ra đời sống thì tỉ lệ này “làm mát mắt” “ưa nhìn” như tượng trưng cho cái đẹp bao quát, phổ thông. Sau này, tỉ lệ đó được mệnh danh là tỉ lệ vàng và mới đây được cho biểu hiệu là phi Φ, và

Φ= 1.6180339…..

Ký hiệu Φ được dùng từ năm 1914 để vinh danh nhà điêu khắc Phidias nổi tiếng với công trình Parthenon ở Anthenes.

Định nghĩa

Ông tổ hình học Euclide là người đầu tiên đã cho định nghĩa rõ ràng về tỉ lệ vàng:

“Một đoạn thẳng được chia ra hai phần (một ngắn một dài) theo tỉ lệ vàng khi tỉ số của đoạn thẳng chia cho phần dài là bằng tỉ số của phần dài chia cho phần ngắn”.

Nói khác đi, một điểm C chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng khi:

AB/AC = AC/BC = tỉ lệ vàng.

Đặt AC=a và BC=b thì AB=a+b, và nếu ta có (a+b)/a  =  a/b ; a/b chính là tỉ lệ vàng Φ.

Thành ra:                      1 + (1/Φ) = Φ

hay                                 Φ2 – Φ – 1 = 0

Giải ra thì nghiệm số dương của Φ là (1+√5)/2 = 1.6180339.

Đặc tính của Φ

* Cũng giống như π, Φ là một số vô tỉ, nghĩa là không thể diễn đạt bằng một phân số, và Φ cũng có số số lẻ dài đến vô tận. Nhưng trái với π, Φ không phải là một số siêu việt vì như đã thấy ở trên, Φ là nghiệm số của một đa thức bậc hai.

*  Φ biểu thị sự tăng trưởng:

Φ2 = 1 + Φ;

Φ3 = Φ2 + Φ = 1 + 2Φ ;

Φ4 = Φ3 + Φ2  = 2 + 3Φ;

………

Φn = Φn-1 + Φn-2

 

* số nghịch đảo của Φ, nhiều khi gọi là φ nhỏ,

φ = 1/Φ = Φ – 1 = 0.6180339… là phần số lẻ của Φ.

φ2 = 1/Φ2 = (Φ-1)2 = Φ2 – 2Φ + 1 = 2 – Φ;       ……….

Φ trong hình học

– Đó là một hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b theo tỉ lệ a/b = Φ. Những hình chữ nhật dễ coi thường có tỉ lệ chiều dài đối với chiều rộng gần bằng tỉ lệ vàng (đền Parthenon ở Athenes; thẻ tín dụng credit card : 1.59;…)

 

image002

 

– Trong một ngũ giác đều, tỉ lệ của đường chéo chia cho một cạnh là Φ. Còn trong một ngôi sao năm cạnh có nhiều đoạn, tỉ lệ của một đoạn chia cho đoạn ngắn hơn kế tiếp cũng lại là Φ. Và có lẽ vì thế, ngôi sao 5 cánh vẫn được coi là đẹp.

image004

Một tam giác vàng là một tam giác cân có 2 góc bằng nhau là 720, góc ở đỉnh là 360 ; tỉ lệ của cạnh chia cho đáy là Φ. Một đường phân giác chia đôi góc 720 sẽ cắt cạnh đối diện và tạo ra một tam giác vàng nhỏ hơn mà cũng có 720-720-360; tỉ lệ của cạnh mới chia cho đáy mới cũng là Φ. Kim tự tháp Kheops có tỉ số giũa chiều cao và nửa cạnh đáy bằng đúng tỉ lệ vàng.

– Nhà thiên văn Kepler cho rằng trong hình học có hai viên ngọc quý: đó là định lý Pythagore, và Φ. Ông đề nghị kết hợp hai viên ngọc đó trong một tam giác vuông có hai cạnh là 1 và √Φ, và cạnh huyền là Φ. Tam giác này, theo định lý Pythagore, có Φ2 = 1 + Φ, đúng là định nghĩa của Φ. Về sau người ta đặt tên tam giác  1:√Φ:Φ  đó là tam giác Kepler.

Φ và π liên hệ trong lượng giác

Qua các công thức lượng giác trong một ngũ giác đều, người ta suy ra được rằng

Φ = 2cos 360 = 2cos (π/5) = 2sin 540 = 2sin (3π/10).

Φ và chuỗi số Fibonacci

Vào thế kỷ thứ 12, một nhà toán học người Ý tên là Leonardo Fibonacci khám phá ra một chuỗi số mà ông thấy có liên hệ tới Φ. Ông giả thử có một cặp thỏ mới sinh; một tháng sau thì thỏ trưởng thành, và một tháng sau nữa thì sinh được một cặp thỏ con; trưởng thành rồi thì mỗi cặp thỏ mỗi tháng sinh được một cặp mới. Như vậy thì sau một năm sẽ có được bao nhiêu cặp thỏ ?

– sau 1 tháng, chỉ có 1 cặp;

– sau 2 tháng, sinh được cặp mới là 2 cặp;

– sau 3 tháng, cặp đầu sinh thêm 1 cặp nữa; cặp sau chưa sinh; là 3 cặp;

– sau 4 tháng, mỗi cặp sinh thêm một cặp nữa là 5 cặp (3 già 2 trẻ)

– sau 5 tháng, 3 cặp già sinh thêm 3 cặp nữa, 2 cặp trẻ chưa sinh; tổng cộng là 8 cặp;

– sau 6 tháng, 3 già 2 trẻ sinh thêm 5 cặp mới; là 13 cặp…..

Như vậy, diễn trình là 1, 2, 3, 5, 8, 13, và suy ra tiếp theo là  21, 34, 55, 89, 144,  233……: mỗi số hạng là tổng số của hai số trước đó, gọi là chuỗi số Finabocci.

Điều thú vị về chuỗi số Fibonacci là dễ nhớ, biểu hiệu cho sự tăng trưởng và quan trọng hơn cả là liên hệ tới Φ: thật vậy, Fibonacci nhận xét, và sau này Kepler chứng minh được, là chia một số hạng cho số hạng trước thì sẽ được gần như Φ, và ở giới hạn vô cực thì tỉ số đó chính là Φ. Như thấy ở trên, chỉ sau vài số hạng mà 233/144 là bằng 1.61806, đúng bằng Φ tới 4 số lẻ.

Thành thử Φ không những biểu thị cái đẹp, mà còn liên hệ tới sự tăng trưởng, sự sống.


Những biểu hiện của Φ

Φ xuất hiện nhiều nơi trong đời sống nên nhiều người cho rằng khó mà là chuyện tình cờ, và cho Φ là con số của trời

* Trong một cộng đồng ong, có nhiều ong cái hơn ong đực; tỉ số là Φ, ong cái nhiều hơn khoảng 62%;

* Con ốc anh vũ nautilus có nhiều vòng xoắn, tỉ lệ đường kính hai vòng gần nhau là bằng Φ;

 

image006

 

* Các hoa nhỏ (fleuron) hay nhị đực (etamine) trên đài hoa hướng dương có thể sắp theo những đường xoắn theo hai chiều khác nhau. Số đường xoắn này không bằng nhau, tùy theo hoa to nhỏ, thường là 34 và 55, hoặc 34 và 21…, lập theo tỉ lệ vàng.

image008

* Cánh trái thông, một số lá trên vài loại nhánh cây, cũng biểu hiện Φ; cách sắp hàng khi lá mọc trên cành để hứng tối đa được ánh nắng, cũng nhiều khi thấy theo góc vàng.

* Leonard Da Vinci có lẽ là người đầu tiên nhận xét Φ trong thân thể con người: lấy khoảng cách từ đầu xuống đất, chia cho từ rốn xuống đất, sẽ được Φ; từ vai tới đầu ngón tay và từ cùi chõ tới đầu ngón tay, cũng là Φ; từ hông xuống đất và từ đầu gối xuống đất, cũng là Φ; các đốt ngón tay, các đốt ngón chân, các đốt xương sống đều biểu hiện Φ;

Có người đã nghiên cứu những khuôn mặt được mọi người công nhận là đẹp như Mona Lisa (La Joconde) hay Marilyn Monroe và đo khoảng cách : K giữa tầm mắt và môi ; L giữa tầm mắt và đầu mũi; M giữa tầm mắt và cằm ; Y giữa 2 con ngươi và chiều cao H từ dưới cằm đến trên trán … thì thấy :

K/L = 1.61 ; M/K = 1.68 ; H/2Y = 1.625… cũng gần bằng tỉ lệ vàng.

image010
* Trong sinh hoạt nghệ thuật từ ngàn xưa cũng thấy có nhiều biểu hiện của Φ: điện Parthenon, các kim tự tháp, ngay cả tòa nhà Liên Hiệp Quốc ở Nữu Ước; trong âm nhạc cổ điển, ngay cả kích thước của cây đàn vĩ cầm trứ danh Stradivarius;

* Kiến trúc sư nổi tiếng Le Corbusier đã coi Φ và chuỗi số Fibonacci như là nhịp điệu của thị giác, và hai quan niệm về đẹp và sống này đã bàng bạc trong các tác phẩm của ông;

* Và còn nhiều nữa, đến độ nếu như có người bỏ công tìm/nhớ số lẻ của π, thì cũng có nhiều người đam mê cứ mò mẫm tìm thêm biểu hiện của Φ khắp mọi nơi, mọi ngành.

Nhưng ta cũng có thể tự hỏi có phải vì thiên nhiên như thế, ta đã quen đi và cho là đẹp?

Thay lời kết luận – Lời bàn cuối

Hai hằng số Φ và π biểu hiệu cho đẹp đẽ như tình đồng môn và bao la như tình đời.

Lấy một viên gạch đẹp của tình đồng môn, kích thước là Φ, 1 và φ (chiều dài, chiều rộng, bề dày).

Đường chéo của viên gạch này là √(φ2+1+Φ2) = √4 = 2.

Cho viên gạch này nội tiếp trong hình cầu tình đời, đường kính là 2, bán kính là 1.

Diện tích của viên gạch tình đồng môn gồm 6 mặt là: 2(1.φ)+2(1.Φ)+2(φ.Φ) = 4Φ;

Diện tích của hình cầu tình đời có bán kính bằng 1 là   4πr2  =  4π.

Tỉ số của diện tích viên gạch trên diện tích hình cầu là  4Φ/4π  hay là  Φ/π.

Φ có số lẻ vô tận; π cũng có số lẻ vô cùng. Φ/π, như tình đồng môn đẹp đẽ trong tình đời bao la, cả hai là vĩnh cửu, là gắn bó muôn đời.

Trong tuổi nghỉ hưu nhàn nhã, chúng tôi đã ”thừa giấy vẽ voi”, mong các bạn đọc cho vui, và không cho là biền ngẫu.

 

 

 
%d bloggers like this: