ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP192 – Bài toán tung đồng tiền



An và Bình là 2 bạn thân thời học chung ở trường Petrus Ký. Sau khi cả hai đổ bằng Tú tài 2, An đi du học ở Mỹ, còn Bình thì giang hồ trong thương trường với bạn bè. Năm nay, An và Bình có dịp gặp nhau trong cuộc họp mặt các cựu học sinh Pétrus Ký tại Sydney, Úc châu, sau 7 năm xa cách. An thì vẫn như xưa, trắng trẻo, chẩm rãi, thông thái với cái bằng PhD về tin học. Bình thì thay đổi nhiều, già dặn, từng trải, ăn nói mạnh bạo hơn.

Sau mấy ngày chè chén với nhau, một hôm Bình khoe với An là mình có một trò chơi rất vui và rủ An cùng tham gia. Bình rút trong túi ra một đồng tiền 1 đô la và nói:

“Đây là một đồng tiền mới, thật hoàn hảo, không có sứt mẻ. Đồng tiền có hai
mặt: mặt hình và mặt chữ. Tôi sẽ tung đồng tiền lên và ghi nhận mặt của đồng
tiền sau khi rơi xuống. Khi số mặt hình và số mặt chữ của đồng tiền (sau khi rơi
xuống) bằng nhau, trò chơi sẽ chấm dứt và tôi sẽ trả cho anh $1 cho mỗi lần tung.

Trò chơi không thể kéo dài mãi, nếu sau 10 lần tung đồng tiền, nếu số mặt hình
và số mặt chữ vẫn không bằng nhau, anh trả cho tôi $10, tức là $1 cho mỗi lần
tung đồng tiền”.

An suy nghĩ cặn kẽ, cân nhắc lợi hại từng trường hợp. Nếu may mắn, chỉ sau 2 lần tung đồng tiền thì An có thể thắng $2, nếu không thắng, thì sau 4 lần tung, An có thể thắng $4, còn nếu không thắng nữa, thì sau 6 lần tung, An có thể thắng $6, cứ thế tiếp tục thì sau một số chẳn lần tung nào đó, An sẽ thắng. Đến lần tung thứ mười cuối cùng, nếu may mắn An sẽ thắng $10 , còn nếu xui lắm thì A mới thua $10!

Sau cùng, An đồng ý tham gia trò chơi của Bình và may mắn thắng được 8$.

Câu hỏi của bài toán tung đồng tiền là:

“Xác suất để An thắng $8 là bao nhiêu?”.

*   *   *

Gọi X và Y lần lượi là số mặt hình và số mặt chữ sau một số lần tung đồng tiền.
X + Y = số lần tung đồng tiền

Trò chơi chấm dứt khi (X,Y) ở những trường hợp (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) hay (5,5)
tức là sau một số chẳn lần tung đồng tiền thứ hai, thứ tư, thứ sáu, thứ tám hay thứ mười.
Sau khi trò chơi chấm dứt, An thắng $8, tức là trò chơi chấm dứt sau lần tung thứ tám của đồng tiền. Sau lần tung thứ tám đó, thì (X,Y) = (4,4). Điều đó cũng chứng tỏ rằng các lần tung thứ hai, thứ tư và thứ sáu đã không chấm dứt trò chơi. Nói khác đi, các trường hợp
(X,Y) = (1,1), (2,2), (3,3) đã không xảy ra.

Thí dụ:      (H: mặt Hình, C: mặt Chữ)

image002

 

Theo bảng trên, không kể các trường hợp “không xảy ra”, có tất cả 5 trường hợp trong 83 trường hợp để trò chơi dừng ở lần tung thứ tám. Nếu trong lần tung thứ nhất, đồng tiền rơi ở mặt chữ, thì tương tự, ta cũng có 5 trong 83 trường hợp để trò chơi dừng sau lần tung thứ tám. Tổng cộng, có 10 trong 166 trường hợp để trò chơi tung đồng tiền dừng ở lần tung thứ tám.

Nói khác đi, xác suất để An thắng được $8 là 10/166 hay 6.02%.

 

Thuận Hoà
Sydney, 2015

 
%d bloggers like this: