ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP195 – Vẽ hình trong Hình học (Bài 1)



Vào thời cỗ Hy lạp, cách vẽ hình và vẽ các đoạn thẳng trong hình học được giới hạn chỉ trong cách dùng thước kẻ và compa. Thước kẻ là thước không có làm dấu khoảng cách (như chia độ chẳng hạn), chỉ dùng để kẻ đường thẳng mà thôi. Các cách vẽ hình nầy được trình bày trong tài liệu “Euclid’s Elements”, nên còn được gọi là cách vẽ Euclid.

Giới hạn chỉ dùng thước kẻ và compa làm các nhà toán học không vẽ được đường thẳng chia ba một góc, trừ một số góc đặc biệt nào đó, một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn, một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương cho sẵn. Thời Plato, có trường phái chỉ dùng compa để vẽ hình, gọi là cách vẽ hình Mascheroni. Thật là phức tạp, muốn có trung điểm của một đoạn thẳng phải cần đến 8 vòng tròn!

Các nhà toán học Hy lạp không giải thích được các hình không vẽ được. Giải thích đó phải đợi đến khi số vô tỉ được khám phá và đặt tên. Hai hình tỉ lệ về kích thước không thể vẽ được nếu tỉ lệ đó là một số vô tỉ (Chú thích: Số vô tỉ là số viết được dưới dạng một phân số mà tử và mẫu số là số nguyên).

Không thể vẽ được đường thẳng (bằng thước kẻ và compa) chia ba góc θ = π/3 = 60o . Lý do sâu xa cũng là do số vô tỉ. Thật vậy, ta có công thức lượng giác:

Cosθ = 4 cos3(θ/3) – 3 cos(θ/3)                 (1)

Với θ = 60o,  Cosθ =  1/2.  Đặt  y =  cos(θ/3)
=> ½ = 4 y3 – 3y => 8y3 – 6y – 1 = 0 => (2y)3 – 3(2y) – 1 = 0

Đặt x = 2y = > x3 – 3x – 1 = 0                   (2)

Phương trình (2) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (2) có một nghiệm hửu tỉ r/s với r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay x = r/s vào (2) và rút gọn:
= > r3 = s2(s + 3r) chia đúng cho s2 => s và r có thừa số chung, trừ khi s = ± 1.
= > s3 = r(r2 -3s2) chia đúng cho r => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1.

Vì r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi r = ± 1 và s = ± 1 và nghiệm số hửu tỉ của phương trình (2) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cả +1 và -1 dều không nghiệm đúng (2).

Tóm lại: phương trình (2) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20o từ một góc 60o cho sẵn bằng compa và thước kẻ.

Tuy nhiên, với một thước thẳng có chia độ, mọi góc có thể chia ba như trong bài toán sau đây:

image002

Ta có: BA = BC = CD
=> Hai tam giác BAC và BCD cân lần lượt ở B và C.
Gọi b là 2 góc đáy của tam giác BCD và c là 2 góc đáy của tam giác BAC.
=> Góc CBD = CDB = b và Góc BCA = BAC = c
=> Góc BCA = CBD + CDB => c = 2b (Góc ngoài tam giác)

Gọi d là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC
=> Góc ABC = d = 180o – 2c = 180o – 4b vì c = 2b

Tổng số các góc ở đỉnh B bằng 180o:
= > a + d + b = 1800
= > a + (180o – 4b) + b = 180o => b = a/3

Như vậy là ta đã vẽ được một góc bằng 1/3 một góc cho sẵn.

Tài liệu của Euclid cũng trình bày cách vẽ tam giác đều, hình vuông, lục giác đều, bát giác đều và ngũ giác đều bằng thước kẻ và compa. Tuy nhiên với đa giác đều 7 cạnh và 9 cạnh thì không được.

Cách vẽ đa giác đều có nhiều cạnh không có trong tài liệu của Euclid. Cách vẽ đa giác đều 17 cạnh được Erchinger tìm được khoảng năm 1800. Cách vẽ đa giác đều 257 cạnh được tìm ra bởi Richelot và Schwendenwein năm 1832. Hermes đã bỏ ra 10 năm cho cách vẽ đa giác đều 65537 cạnh ở Gottingen, Đức, năm 1900.

(Mời xem tiếp “Vẽ hình trong Hình học (Bài 2)”, trình bày cách vẽ bằng thước kẻ và compa một hình ngũ giác đều (5 cạnh) và hình đa giác đều 17 cạnh.

Thuận Hoà
Sydney, 2015

 
%d bloggers like this: