ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP197 – Bài toán của nhà toán học Malfatti



Năm 1802, nhà toán học Ý Gianfrancesco Malfatti (1731 – 1807) đã nêu lên lời giải cho một bài toán mà ông công bố năm sau. Đó là bài toán “ba vòng tròn tiếp xúc phải sắp xếp thế nào trong một tam giác cho sẵn để có tổng số diện tích lớn nhất”.

Theo Malfatti: “để 3 vòng tròn trong tam giác có tổng số diện tích lớn nhất thì 3 vòng tròn nầy phải tiếp xúc nhau từng đôi và mỗi vòng tròn phải tiếp xúc với 2 cạnh của tam giác” (xem Hình 1)

image002

Các vòng tròn nầy được gọi là vòng tròn Ma lfatti (Malfatti’s Circles).

Trường hợp tam giác cân đã được khảo sát bởi nhà toán học Thuỵ sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1705). Nhà toán học Thuỵ sĩ Jacob Stainer (1796 – 1863) khảo sát trường hợp tam giác bất kỳ và công bố kết quả năm 1826. Nhiều nhà toán học cũng đồng ý với kết quả của Malfatti.

Tuy nhiên, năm 1929, H. Lob và Herbert William Richmond (1863 – 1948) đã khám phá ra là bài toán của Malfatti có sự nhầm lẩn. Kết luận của Malfatti không đúng khi áp dụng vào trường hợp tam giác đều. Theo Malfatti, trường hợp tam giác đều (xem Hình 2), tổng số diện tích của 3 vòng tròn bằng khoảng 73% diện tích của tam giác. Lob và Richmond đã tìm được cách sắp xếp 3 vòng tròn trong tam giác đều để tổng số diện tích của 3 vòng tròn đạt đến 74% (xem Hình 3)

image004

Năm 1965, nhà toán học Howard W. Eves (1911 – 2004) đã chứng minh rằng kết luận của Mafatti cũng không đúng trong trường hợp tam giác mỏng như các hình dưới đây.

Trong cùng một tam giác mỏng, các vòng tròn trong Hình 4 có tổng số diện tích lớn hơn tổng số diện tích các vòng tròn trong Hình 5, sắp xếp theo Mafatti.

image006
Năm 1967, nhà toán học Michael Goldberg chứng minh rằng bài toán Mafatti sai dù tam giác thế nào.

Nhà toán học Richard Guy sinh năm 1916 thì cho rằng đơn giả là Malfatti đã phát biểu thiếu sót ý kiến của mình. Lời giải đúng của bài toán phải là:

“Để 3 vòng tròn trong một tam giác có tổng số diện tích lớn nhất thì:

– Phải có 1 vòng tròn là vòng tròn nội tiếp trong tam giác (tức là vòng
tròn tiếp xúc với cả 3 cạnh của tam giác)

– Hai vòng tròn kia phải tiếp xúc với vòng tròn nội tiếp và tiếp xúc với 2
   cạnh của tam giác”

image008

Tham khảo:

“Mistakes with Malfatti’s Problem”, Alfred S. Posamentier Ingmar Lehmann,
Magnificent Mistakes in Mathematics, pp 29-31, Prometheus Books, Amherst, New York
“Malfatti’s Problem”, Wolfram MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/MalfattisProblem.html
“Malfatti Cicles”, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/malfatti_circles

Thuận Hoà
Sydney 2015

 
%d bloggers like this: