ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP213 – Nhầm lẫn của Kỵ sĩ De Méré

 



Nhà quý tộc Pháp Antoine Gombaud (1607-1684), có lẽ được biết nhiều dưới tên Kỵ sĩ De Méré (Chevalier de Méré), thích giải trí bằng những trò chơi may rủi trong các buổi hội hợp. Ông rất hứng thú với nhận xét là “cơ may để có 1 mặt 6 nút khi thảy 1 hạt xúc xắc 4 lần bằng với cơ may để có 2 mặt 6 nút khi thảy 2 hạt xúc xắc cùng lúc trong 24 lần”. (Tác giả dùng danh từ “cơ may” thay vì “xác suất” vì xác suất chưa được phát triển ở thời De Méré).

Kết luận của Kỵ sĩ De Méré có lẽ dựa trên nhận xét sau đây:

Khi thảy 1 hạt xúc xắc, cơ may để có mặt 6 nút xuất hiện là 1/6. Khi thảy 2 hạt xúc xắc cùng một lúc, cơ may để có 2 mặt 6 cùng xuất hiện là 1 / (6×6) = 1 / 36. Nếu thảy 1 hạt xúc xắc 4 lần, cơ may để có 1 mặt 6 nút xuất hiện là 4/6. Nếu thảy 2 hạt xúc cùng 1 lúc 24 lần, cơ may để có 2 mặt 6 nút cùng xuất hiện là 24/36.
Vì  4/6 = 24/36  nên cơ may của 2 cách thảy bằng nhau!

Với suy nghĩ đó, De Méré đã thua rất nhiều tiền.

Thất vọng, De Méré tìm cách tiếp xúc với một trong những nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ là Blaise Pascal (1623-1662). Pascal rất thích thú với trường hợp khó xử nầy, ghép bài toán của De Méré vào những thư trao đổi  với nhà toán học nổi tiếng khác là Pierre de Fermat. Sự trao đổi nầy là mầm móng của một ngành mới của toán học là “xác suất”. Bây giờ, chúng ta thử tìm xem nhận xét của De Méré đúng hay sai.

Trường hợp 1 hạt xúc xắc thảy 4 lần:

Thảy 1 hạt xúc xắc 1 lần, có 6 trường hợp có thể xảy ra, trong đó có thể có 1 mặt 6 nút và 5 mặt không phải là 6 nút.

Thảy 1 hạt xúc xắc 4 lần, có  6x6x6x6 = 1,296 trường hợp có thể xảy ra.

Trong số 1,296 trường hợp trên, có 5x5x5x5 = 625 trường hợp mà mặt 6 nút không xảy ra.

Suy ra, có  1,296 – 625 = 671  trường hợp mà mặt 6 nút xảy ra.

Nếu thảy 1 hạt xúc xắc 4 lần liên tiếp, cơ may để không có mặt 6 nút xuất hiện bằng:

            625 / 1296  = 0.4822530…  <   1/2

Kết quả trên cũng tính được bằng công thức

            (1 – 1/6)4  = (5/6)4  = 0.4822530…

Nếu thảy 1 hạt xúc xắc 4 lần liên tiếp, cơ may để có mặt 6 nút xuất hiện bằng: 

            1 – 0.4822530… = 0.5177469…  >   1/2

 

Trường hợp 2 hạt xúc xắc thảy 24 lần:

Thảy 2 hạt xúc xắc 1 lần, có 6×6 = 36 trường hợp xảy ra. Trong các trường hợp nầy, có 1 trường hợp 2 mặt 6 nút cùng xảy ra và 35 trường hợp còn lại, 2 mặt không cùng 6 nút.

Thảy 2 hạt xúc xắc 24 lần, số trường hợp xảy ra bằng:

36 x 36 x 36 x …….. x 36 x 36    (24 thừa số 26)

= 3624   gần bằng  22,452,257,707,350 x 1024

Trong các trường hợp trên, số trường hợp 2 mặt 6 không cùng xuất hiện bằng:

35 x 35 x 35 x …… x 35 x 35      (24 thừa số 35)

= 3524   gần bằng  11,419,131,242,070 x 1024

Nếu thảy 2 hạt xúc xắc 24 lần, cơ may để 2 mặt 6 không cùng xuất hiện bằng:

image002

Kết quả trên cũng tính được bằng công thức:

image004

Nếu thảy 2 hạt xúc xắc 24 lần, cơ may để có 2 mặt 6 cùng xuất hiện bằng:

            1 – 0.508596123…  =  0.491403877…  <  1/2

Tóm lại, không như Kỵ sĩ De Méré nghĩ, cơ may để thắng trong trường hợp 1 hạt xúc xắc (mặt 6 nút xuất hiện sau 4 lần thảy) lớn hơn cơ may để thắng trong trường hợp 2 hạt xúc xắc (2 mặt 6 nút cùng xuất hiện sau 24 lần thảy).

Cơ may để thắng trong 2 trường hợp không bằng nhau.

 

Thuận Hoà
Sydney 2016

 

 

 
%d bloggers like this: