Bài toán trong thực tế là làm sao lát những gạch tấm vuông trên một mặt bằng hình vuông hay chữ nhật. Bài toán đơn giản nếu các gạch tấm vuông có kích thước như nhau lát trên một mặt bằng vuông có kích thước là một bội số của kích thước gạch tấm. Trong bài viết nầy, tất cả các số đo độ dài đều là số nguyên theo một đơn vị bất kỳ nào đó, thí dụ là cm.

Bài toán lát hình trở nên rất phức tạp nếu kích thước các thẻ vuông hoàn toàn khác nhau (bài toán lát hình hoàn hảo), hay không hoàn toàn khác nhau (bài toán lát hình không hoàn hảo).

Năm 1925, Zbigniew Moron đã tìm được hình chữ nhật hoàn hảo 33 x 32 lát bởi 9 thẻ vuông kích thước  1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 và 18 (xem Hình 1) và hình chữ nhật hoàn hảo 47 x 65 lát bởi 10 thẻ vuông kích thước 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 và 25 (xem Hình 2)

Năm 1940, Reichert và Toepkin chứng minh được là một hình chữ nhật không thể lát đầy bằng ít hơn 9 thẻ vuông khác nhau.

Nếu hình là một hình vuông thì bài toán lát hình bằng thẻ vuông càng phức tạp gấp bội. Trong một thời gian dài, bài toán lát một hình vuông bằng những thẻ vuông khác nhau được xem như “không giải được” cho đến năm 1939 khi Roland Sprague tìm được một hình vuông lát bằng 55 thẻ vuông khác nhau.

Năm 1948, Theophilus Willcocks tìm được 24 thẻ vuông khác nhau có thể lát đầy một hình vuông. Trong một thời gian dài, người ta tưởng như đó là kết quả tốt nhất cho đến năm 1962, khi Adrianus Duijvestijn dùng computer tìm được hình vuông 112 x 112 lát đầy bằng 21 thẻ vuông khác nhau kích thước: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42 và 50 (xem Hình 3).

Một thí dụ về lát hình vuông không hoàn hảo bằng các thẻ vuông có thể có cùng kích thước:

Hình vuông 33 x 33 có thể lát đẩy bằng 13 thẻ vuông kích thước: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 11, 11 và 12.

Thuận Hoà