Toán mẫu tự là toán có các con số được thay bằng các mẫu tự với điều kiện là mỗi mẫu tự thay thế một con số duy nhất và khác nhau. Nếu không xác định rõ thì các con số ở trong tập hợp 10 con số từ 0 đến 9.

Bài viết nầy trình bày một bài toán cộng mẫu tự đặc biệt vì, mặc dầu dưới dạng mẫu tự, bài toán cũng diễn tả được một tính chất đúng của số học là “Ba cộng Bốn bằng Bảy”. Điều thiếu sót là phải dùng tiếng Anh thì bài toán mới có ý nghĩa!

Nói rõ hơn, mời quý bạn cùng Thuận Hoà giải bài toán cộng mẫu tự sau đây:

T H R E E
+ F O U R
========          (1)          Để đơn giản, đặt thêm điều kiện: E + R < 10          (2)
S E V E N

Bạn có thể đã thấy bài toán đó đâu đó trong các tạp chí giải trí với một đáp số mà không có lời giải thích nào. Ở đây, tác giả cố gắng trình bày lời giải để tìm tất cả các đáp số của bài toán.

*    *    *

Nhận xét đầu tiên:

a) S không thể bằng T => S = T + 1                        (3)
1 chính là số giữ đem qua từ phép cộng H + F

b) Vì E + R < 10 (tức là không có số giữ) => E + U = E => U = 0               (4)

c) Các cặp số hoán vị được: (H,F), (R,O), (E,U), (E,R)

Cột hàng trăm R + O có 2 trường hợp: không có và có số giữ: R + O < 10 và R + O ≥ 10
*   *   *

Phần 1:    R + O < 10 => R + O = V => Không có số giữ

Cột hàng ngàn H + F ≥ 10 để có số giữ đem qua cột hàng vạn theo (3)

=> H + F = 10 + E                   (5)

a) H + F = 10 => E = 0 => Không nhận được (vì U = 0)

b) H + F = 11 => E = 1 => 1 + R = N ,     R + O = V

(H,F) = (2,9) => Các số chưa dùng: 3, 4, 5, 6, 7, 8

(R,N) = (3,4) => (O,V) = (5,8) => (T,S) = (6,7) => Nhận được

=> Nghiệm: 62311 + 9503 = 71814

Các cặp (R,N) = (4,5), (5,6), (6,7), (7,8) đều không nhận được.

(H,F) = (3,8) => Các số chưa dùng: 2, 4, 5, 6, 7, 9

Các cặp (R,N) = (4,5), (5,6), (6,7) đều không nhận được

(H,F) = (4,7) => Các số chưa dùng: 2, 3, 5, 6, 8, 9

Các cặp (R,N) = (2,3), (5,6), (8,9) đều không nhận được

(H,F) = (5,6) => Các số chưa dùng: 2, 3, 4, 7, 8, 9

(R,N) = (7,8), (O,V) = (2,9), (T,S) = (3,4) => Nhận được

=> Nghiệm: 35711 + 6207 = 41918

Các cặp (R,N) = (2,3), (3,4), (8,9) đều không nhận được

c) H + F = 12 => E = 2 => 2 + R = N , R + O = V

(H,F) = (3,9) => Các số chưa dùng: 1, 4, 5, 6, 7, 8

(R,N) = (4,6), (O,V) = (1,5), (T,S) = (7,8) => Nhận được

=> Nghiệm: 73422 + 9104 = 82526

(R,N) = (6,8), (O,V) = (1,7), (T,S) = (4,5) => Nhận được

=> Nghiệm: 43622 + 9106 = 52728

Cặp (R,N) = (5,7) không nhận được

(H,F) = (4,8) => Các cặp (R,N) = (1,2), (3,5), (5,7) đều không nhận được
(H,F) = (5,7) => Các cặp (R,N) = (1,2), (4,6), (6,8) đều không nhận được

d) H + F = 13 => E = 3 => 3 + R = N, R + O = V

(H,F) = (4,9) => Các số chưa dùng: 1, 2, 3, 6, 7, 8
(R,N) = (2,5), (5,8) đều không nhận được

(H,F) = (5,8) => Các cặp (R,N) = (1,4), (4,7), (6,9) đều không nhận được

(H,F) = (6,7) => Các số chưa dùng: 1, 2, 4, 5, 8, 9
(R,N) = (5,8), (O,V) = (4,9), (T,S) = (1,2) => Nhận được

=> Nghiệm: 16533 + 7405 = 23938

Cặp (R,N) = ( (2,5) không nhận được

e) H + F = 14 => E = 4 => 4 + R = N, R + O = V

(H,F) = (5,9) => Cac số chưa dùng: 1, 2, 3, 6, 7, 8
(R,N) = (2,6), (O,V) = (1,3), (T,S) = (7,8) => Nhận được

=> Nghiệm: 75244 + 9102 = 84346

Cặp (R,N) = (3,7) không nhận được

(H,F) = (6,8) => Các cặp (R,N) = (1,5), (3,7), (5,9) đều không nhận được

f) H + F = 15 => E = 5 => 5 + R = N, R + O = V

(H,F) = (6,9) => Cac số chưa dùng: 1, 2, 3, 6, 7, 8
(R,N) = (3,8), (O,V) = (4,7)), (T,S) = (1,2) => Nhận được

=> Nghiệm: 16355 + 9403 = 25758

Cặp (R,N) = (2,7) không nhận được

(H,F) = (7,8) => Các cặp (R,N) = (1,6), (4,9) không nhận được

Vì E và R hoán vị được và vì E + R < 10 nên ta có thể ngừng ở E = 5.

 

*   *   *

Phần 2:    R + O ≥ 10 => R + O =  10 + V => Số giữ 1 đem qua cột hàng ngàn

Cột hàng ngàn  H + F ≥ 10  để có số giữ đem qua cột hàng vạn theo (3)
=> H + F + 1 = 10 + E => H + F = 9 + E             (6)

a) H + F = 10 => E = 1 => 1 + R = N, R + O = 10 + V

(H,F) = (2,8) => Các số chưa dùng: 3, 4, 5, 6, 7, 9

(R,N) = (4,5), (O,V) = (9,3), (T,S) = (6,7) => Nhận được

=> Nghiệm: 62411 + 8904 = 71315

(R,N) = (6,7), (O,V) = (9,5), (T,S) = (3,4) => Nhận được

=> Nghiệm: 62411 + 8904 = 71315

Các cặp (R,N) = (3,4), (5,6) không nhận được

(H,F) = (3,7) => Các số chưa dùng: 2, 4, 5, 6, 8, 9

(R,N) = (8,9), (O,V) = (4,2), (T,S) = (5,6) => Nhận được

=> Nghiệm: 53811 + 7408 = 61219

Các cặp (R,N) = (4,5), (5,6) không nhận được

(H,F) = (4,6) => Các số chưa dùng: 2, 3, 5, 7, 8, 9
(R,N) = (8,9), (O,V) = (7,5), (T,S) = (2,3) => Nhận được

=> Nghiệm: 2 4811 + 6708 = 31519

Các cặp (R,N) 2,3), (7,8) không nhận được

b) H + F = 11 => E = 2 => 2 + R = N, R + O = 10 + V

(H,F) = (3,8) => Các số chưa dùng: 1, 4, 5, 6, 7, 9
(R,N) = (7,9), (OV) = (4,1), (T,S) = (5,6) => Nhận được

=> Nghiệm: 53722 + 8407 = 62129

Các cặp (R,N) = (4,6), (5,7) khônh nhận được

(H,F) = (4,7) => Các số chưa dùng: 1, 3, 5, 6, 8, 9
Các cặp (R,N) = (1,3), (3,5), (6,8) đều không nhận được

(H,F) = (5,6) => Các số chưa dùng: 1, 3, 4, 7, 8, 9
Các cặp (R,N) = (1,3), (7,9) đều không nhận được

c) H + F = 12 => E = 3 => 3 + R = N, R + O = 10 + V

(H,F) = (4,8) => Các số chưa dùng: 1, 2, 5, 6, 7, 9
(R,N) = (2,5), (O,V) = (9,1), (T,S) = (6,7) => Nhận được

=> Nghiệm: 64233 + 8902 = 73135

Cặp (R,N) = (6,9) không nhận được

(H,F) = (5,7) => Các số chưa dùng: 1, 2, 4, 6, 8, 9
(R,N) = (6,9), (O,V) = (8,4), (T,S) = (1,2) => Nhận được

=> Nghiệm: 15633 + 7806 = 23439

Cặp (R,N) = (1,4) không nhận được

d) H + F = 13 => E = 4 => 4 + R = N, R + O = 10 + V

(H,F) = (5,8) => Các số chưa dùng: 1, 2, 3, 6, 7, 9
Các cặp (R,N) = (2,6), (3,7) không nhận được

(H,F) = (6,7) => Các số chưa dùng: 1, 2, 3, 5, 8, 9
(R,N) = (5,9), (O,V) = (8,3), (T,S) = (1,2) => Nhận được

=> Nghiệm: 16544 + 7805 = 24349

Cặp (R,N) = (1,5) không nhận được

e) H + F = 14 => E = 5 => 5 + R = N, R + O = 10 + V

(H,F) = (6,8) => Các số chưa dùng: 1, 2, 3, 4, 7, 9
(R,N) = (2,7), (O,V) = (9,1), (T,S) = (3,4) => Nhận được

=> Nghiệm: 36255 + 8902 = 45157

(R,N) = (4,9), (O,V) = (7,1), (T,S) = (2,3) => Nhận được

=> Nghiệm: 26455 + 8704 = 35159

 

Kết luận

Bài toán mẫu tự (1) có rất nhiều nghiệm số như trên đã thấy, chưa kể các nghiệm nhận được bằng cách hoán vị các số trong các cặp (H,F), (R,O), (E,U), (E,R).

 

Thuận Hoà