Bài toán Xếp Giấy đã được Thuận Hoà trình bày năm 2012, bài “CP056 – Xếp Giấy” trong mục “Phiếm năm 2012”. Nội dung của bài viết đó xoay quanh số lần liên tiếp tối đa mà người ta có thể xếp một tờ giấy gấp đôi. Số lần nầy tùy thuộc bề dày, bề rộng, chất lượng, độ bền chắc của vật được xếp và cả sức lực của một hay nhiều người tham dự! Có người cho là với tờ giấy A4, số lần xếp tối đa là 6, nhưng với tờ giấy đi cầu, số đó là 9!.

Tháng 4 năm 2005, cô gái Britney Gallivan đã đạt được một thành tích với 12 lần xếp. Britney đạt được các thành tích đó nhờ vào một phương pháp đặc biệt là tuần tự thay đổi hướng xếp.

Trong bài viết nầy, Thuận Hoà trình bày một khía cạnh khác của Bài Toán Xếp Giấy là bề dày của xấp giấy sau khi xếp gấp đôi nhiều lần liên tiếp, thí dụ n lần với giả thiết n là một số nguyên bất kỳ.
Bảng sau đây cho thấy số tờ của xấp giấy theo số lần xếp:

Thí dụ với n = 14, số tờ của xấp giấy N = 2¹⁴ = 16,384

Giả sử bề dày của tờ giấy là 0.25 mm thì bề dày của xấp giấy sau n lần xếp bằng

0.25 x 2ⁿ = 1/4 x 2ⁿ = 2^n-2 mm

Với 1 tờ giấy có bề dày 0.25 mm, sau 14 lần xếp đôi tờ giấy, ta sẽ được một xấp giấy có bề dày bằng:

2^14-2 = 2¹² mm = 4,096 mm ≈ 4 m

Bề dày của xấp giấy tăng rất nhanh theo các lần xếp. Với 50 lần xếp giấy, xấp giấy sẽ có

2⁵⁰ = 1,125,899,906,842.624 tờ và có chiều cao:

0.25 x 2⁵⁰ = 281,474,976,710,456 mm ≥ 281 triệu km

Trên đây là một kết quả giả tưởng vì không có tờ giấy nào đủ rộng để có thể xếp đôi đến 50 lần!

Kết quả trên cũng không phải là một nghịch lý đứng về phương diện khoa học. Sự nghịch lý có chăng là ở cảm nghĩ thông thường của con người: “Nghĩ là đơn giản nhưng lại là thật phức tạp!”.

Tưởng tượng bạn có một tờ giấy vuông lớn cạnh 100 km. Bạn xếp đôi tờ giấy theo hướng nào đó để có hình chữ nhật kích thước 100×50 km. Bạn lại xếp đôi tờ giấy lần nữa theo hướng khác để có hình vuông cạnh 50 km. Cứ thế tiếp tục, sau 50 lần xếp bằng cách thay đổi tuần tự hướng xếp, bạn sẽ có một xấp giấy hình vuông có cạnh bằng (100 / 2²⁵) km (Để ý rằng cứ 2 lần xếp là có 1 hình vuông).

Cạnh của hình vuông sau 50 lần xếp đôi tuần tự khác hướng của một tờ giấy vuông giả tưởng cạnh 100 km bằng:

(100 km)/2²⁵ = 0,000002980232239 km = 0.2980232239 mm

Vow! Không thể tưởng tượng được bạn có thể thu nhỏ một tờ giấy vuông cạnh 100 km thành một xấp giấy vuông nhỏ xíu cạnh dưới 0.3 mm (nhưng cao ngất trời!).
Chắc bạn khó tin điều đó nếu không có những con tính chính xác. Dù sao, đó chỉ là giả tưởng và bạn không thể nào kiểm chứng được bằng thực nghiệm!

Thuận Hoà
Sydney, 2016