Xét chuỗi vô hạn mà số hạng thứ n có dạng 1/n như dưới đây:

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …..                 (1)

Chia 2 vế của (1) cho 2:

1/2 S = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ….   (2)

Trừ vế (1) và (2):

1/2 S = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ….         (3)

Trừ vế (3) và (2):

1/2 S – 1/2 S = (1 – 1/2) + (1/3 – 1/4) + (1/5 – 1/6) + (1/7 – 1/8) + … (4)

=> 0 = 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + ….        (5)

Hệ thức (5) trình bày một hệ thức không chấp nhận được là “Tổng số vô hạn các số dương ở vế thứ hai lại bằng 0 ở vế thứ nhất”.

Sự sai biệt nầy được gọi là  “Nghịch lý của chuỗi vô hạn”.

Thật ra, sự sai lầm trong hệ thức (5) không phải là một nghịch lý trong toán học. Sự sai lầm đó bắt nguồn từ sự áp dụng sai lầm tính chất của chuỗi vô hạn.

Sự sai lầm nằm ở đâu?

Chuỗi vô hạn (1) gọi là chuỗi điều hòa (harmonic series) trong toán học.

Tổng số S của chuỗi điều hòa bằng bao nhiêu?

Chúng ta có thể xét đoán chuỗi điều hòa (1) theo cảm tính như dưới đây.

10 số hạng đầu tiên của (1) (từ 1 đến 1/10) có tổng số S vào khoảng 2.92
Với 100 số hạng đầu tiên, tổng số S vào khoảng 5.2 và với 1,000 số hạng đầu tiên, S vào khoảng 7.5
Tiếp tục tăng các số hạng của (1) đến một mức nào đó, ta dễ nghĩ rằng ta có thể dừng lại và lấy tổng số S lúc đó làm tổng số của chuỗi vô hạn (1), và cho rằng các số hạng tiếp theo cực kỳ nhỏ, không đáng kể!!!

Lời kết luận do cảm tính đó không đúng. Thật sự, khi số số hạng n của chuỗi điều hòa tăng đến vô hạn thì tổng sô S của chuỗi cũng tăng đến vô hạn.

Một cách đơn giản để nghiệm thấy tính chất không hội tụ của chuỗi vô hạn như dưới đây.

Ngoài chuỗi vô hạn (1), xét thêm chuỗi vô hạn T có tính chất như sau:

– 4 số hạng đầu đều bằng 1/4
– 8 số hạng kế tiếp đều bằng 1/8
– 16 số hạng kế tiếp đều bằng 1/16
– vv ….

T = (1/4+1/4+1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8) + ….             (6)

Gom các số hạng của chuỗi vô hạn (1) theo cách của chuỗi vô hạng T:

S = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12) + …

Tổng số các số hạng trong các ngoặc trong S đều lớn hơn tổng số các số hạng trong các ngoặc tương ứng trong T, thí dụ (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) > (1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4) => S > T

Theo (6) thì:

T = 4(1/4) + 8(1/8) + 16(1/16) + 32(1/32) + ….

T = 1 + 1 + 1 + 1 + …..                (7)

Khi số số hạng trong (7) tăng đến vô hạn thì tổng số T cũng tăng đến vô hạn.

Vì S > T nên S cũng tăng đến vô hạn. Nói khác đi, chuỗi số điều hòa (1) không hội tụ.

Trở lại các hệ thúc    (1), (2), (3), (4) và (5)   ở đầu bài.

Theo (1), S là tổng số của 1 chuỗi vô hạn không hội tụ => S = ∞

Theo (2), 1/2 S là phân nửa tổng số của 1 chuỗi vô hạn không hội tu => 1/2 S = ∞

Theo (3), S – 1/2 S là hiệu số của 2 số vô cực, mà vô cực là số không xác định, nên không có hiệu số của 2 số vô cực, nói khác đi,
∞ – ∞ không xác định cũng như: 1/0, ∞/∞ đều là những trường hợp không xác định trong toán học.

Hệ thức (3) đã sai rồi thì hệ thức (4) và kết quả (5) cũng vô nghĩa.

Thuận Hòa
Sydney 2016