Trong mục nầy, Thuận Hoà đã trình bày cùng độc giả nhiều bài toán mẫu tự dưới dạng đơn giản nhất là toán cộng, với lời giải chi tiết rõ ràng chớ không phải chỉ cho biết kết quả. Toán cộng hay trừ đơn giản nhờ tính trưc tiếp, thí dụ: biết a, b thì cũng biết c = a + b hay c = a – b.

Những bài toán mẫu tự cao hơn như toán nhân thì rất khó để có một lời giải chi tiết rõ ràng. Phần lớn các kết quả tìm được là do may mắn hay do sự sấp xếp của tác giả. Thí dụ: bài toán nhân mẫu tự

Các loại toán nầy khó vì tính gián tiếp. Trong bài toán nhân trên, một con số trong kết quả là từ tổng số của 2 con số khác, mà 2 con số khác nầy là từ kết quả của 2 bài toán nhân đơn giản hơn, thí dụ:  4 từ (7 + 6), 7 từ (3 x 9) và 6 từ (6 x 2).

Toán nhân mẫu tự đã khó, toán chia mẫu tự lại càng khó hơn. Chỉ có những bài toán có tính chất đặc biệt mới giải được.

Trong bài viết nầy, tác giả xin giới thiệu một bài toán mẫu tự thật đặc biệt: đó là bài toán bình phương, hay nói khác đi, bài toán căn số bậc hai, như dưới đây:

Giải bài toán mẫu tự:      (OODDF)²  = WONDERFUL    (1)
 với các mẫu tự thay thế các con số khác nhau trong khoảng từ 1 đến 9.

*      *      *

Nhận xét đầu tiên:  Vế thứ hai  của (1) có 9 con số, vế thứ nhất có 5 con số.

Thường thì bình phương của 1 số có 5 con số là 1 số có 10 con số.  Bình phương có 9 con số khi căn số có 5 con số phải nhỏ, tứ là OO phải nhỏ.

Nếu O = 3 hay lớn hơn,  (33DDF)² > 33000² = 1089000000  có 10 con số  => Không được

Nêu O = 1, (11DDF)² < 12000² = 144000000  => WONDERFUL < 144000000
=>  W không thể bằng 0 => W = 1  => Không nhận được vì O đã bằng 1

Tóm lại:  O = 2 => OO = 22

Vì  22000² < OODDF² < 23000² => 484000000 < W2NDERFUL < 529000000

Bất đẳng thức trên được nghiệm nếu ta có W = 5  hay WO = 52

Vì  WO = 52  nên OODDF  nhỏ hơn nhưng gần với 23000.

= >  Thử DD = 99,  DD = 88,  DD = 77

Với  DD = 99 =>  22990² < OODDF² < 22999²
=>  528540100  < 52NDERFUL < 528954001

Với  DD = 88 =>  22880² < OODDF² < 22889²
=>  523494400  < 52NDERFUL < 523906321

Với  DD = 77 =>  22770² < OODDF² < 22779²
=>  518472900  < 52NDERFUL < 518882841  => Không nhận được

Tóm lại:  DD  có thể bằng 88 hay 99

Để có thể tiếp tục, ta phải nhờ đến tính chất chia đúng của số.

Trở về hệ thức (1), vế thứ hai WONDERFUL thay thế cho 9 con số khác nhau từ 1 đến 9

= >  Tổng số các con số của WONDERFUL bằng:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9  = 45

Tổng số các con số của WONDERFUL bằng 45, chia đúng cho 9, nên WONDERFUL chia đúng cho 9.

= > Vế thứ nhất OODDF có bình phương chia đúng cho 9, nên chia đúng cho 3.
= >  Tổng số các con số của OODDF chia đúng cho 3
= >   O + O + D + D + F  = 4 + 2D + F   chia đúng cho 3

Với DD = 99 => 4 + 2D + F = 22 + F  chia đúng cho 3
=>  F = 8  (để ý rằng F không thể bằng 2, 5)

Với F = 8, (OODDF)² = 22998² = 528908004  => Không nhận được

Với DD = 88 => 4 + 2D + F = 20 + F  chia đúng cho 3

= >  F = 1,  F = 4,  F = 7

Với F = 1, (OODDF)² = 22881² = 523549161  => Không nhận được

Với F = 4, (OODDF)² = 22884² = 523677456  => Không nhận được

Với F = 7, (OODDF)² = 22887² = 523814769  => Nhận được

Tóm lại: bài toán mẫu tự bình phương (1) có 1 nghiệm duy nhất là:

O = 2, D = 8, F = 7, W = 5, N = 3, E = 1, R = 4, F = 7, U = 6, L = 9

hay:    (22887)² = 52381476

Thuận Hoà
Sydney