CP230 – Bộ ba Pythagore và vài áp dụng thú vị
Trong bài “Định lý cuối cùng của Fermat”, chúng ta có bàn sơ qua về bộ ba Pythagore. Trong bài nầy, Thuận Hoà sẽ nhắc lại tỉ mỉ hơn về các bộ ba Pythagore và đặc biệt chú trọng vài áp dụng rất thú vị của các bộ ba nầy.
Bộ ba Pythagore
Theo định lý Pythagore thì “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông”.
Xét tam giác ABC vuông tại A với 3 cạnh BC = a, AB = c, AC = b
= > BC2 = AB2 + AC2 => b2 + c2 = a2
Ba cạnh a, b, c của tam giác vuông hợp thành một bộ ba Pythagore, ký hiệu: (b,c,a). Để ý rằng 2 cạnh góc vuông b, c có thể hoán vị được và cạnh huyền a (cạnh lớn nhất) luôn luôn được viết sau cùng.
Ba bộ ba Pythagore thường được biết đến là:
(3,4,5) vì 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
(5,12,13) vì 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
(8,15,17) vì 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172
Tích số của 3 số của một bộ ba Pythagore với cùng một số nguyên cũng hợp thành một bộ ba Pythagore:
(3,4,5) bộ ba Pythagore => (15,20,25), … , (3k,4k,5k) bộ ba Pythagore
Ba số của một bộ ba Pythagore có thể đơn giản cho cùng một ước số chung của 3 số đó:
(12,16,20) bộ ba Pythagore =>(3,4,5) bộ ba Pythagore
Bộ ba Pythagore (b,c,a) tối giản khi a, b, c không có ước số chung khác 1.
Có vô số bộ ba Pythagore, một số bô ba Pythagore tối giản được liệt kê sau đây:
(3,4,5) (5,12,13) (7,24, 25) (8,15,17) (9,40,41) (20,21,29) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85)
(15,112,113) (16,63,65) (20,99,101) (24,143,145) (28,45, 53) (33,56,65) ……..
Áp dụng
Vài áp dụng thú vị của bộ ba Pythagore là:
A) Tính diện tích của một tam giác vuông biết độ dài của một đường trung tuyến
B) Tính diện tích của một tam giác vuông biết độ dài của một đường cao
Trong mỗi áp dụng, ta xét 2 trường hợp.
A) Áp dụng A: Tính diện tích tam giác vuông ABC có một đường trung tuyến bằng 25 cm
A1) Trường hợp trung tuyến phát xuất từ đỉnh của một góc nhọn, thí dụ BM = 25 cm.
AM = ½ AC
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABM:
=> AB2 + AM2 = BM2 => AB2 + (½ AC)2 = 252
=> (AB,½ AC,25) là một bộ ba Pythagore
Vì (7,24,25) là một bộ ba Pythagore nên:
AB = 7, ½ AC = 24 = > AC = 48
Suy ra diện tích tam giác vuông ABC:
dt(ABC) = ½ AB x AC = ½ 7 x 48 = 168 cm2
A2) Trường hơp trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông, thí dụ AN = 25 cm.
Theo một tính chất của tam giác vuông: BC = 2AN = 50 cm
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
=> AB2 + AC2 = BC2 = 502
=> (AB,AC,50) là một bộ ba Pythagore
Vì (7,24,25) là một bộ ba Pythagore, nên (14,48,50) cũng là một bộ ba Pythagore.
Suy ra: AB = 14, AC = 48 và diện tích của tam giác vuông ABC:
dt(ABC) = ½ AB x AC = ½ 14 x 48 = 336 cm2
Tóm lại, bài toán có 2 lời giải: diện tích tam giác vuông ABC bằng 168 cm2 hay 336 cm2 tuỳ theo đường đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh góc nhọn hay đỉnh góc vuông.
B) Áp dụng B: Tính diện tích tam giác vuông ABC có một đường cao bằng 60 cm
Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Đường cao dài 60 cm có thể là chiều dài của cạnh AB hay AC và cũng có thể là chiều dài của đoạn AH phát xuất từ A và thẳng góc với BC.
B1) Trường hợp 1: Đường cao là 1 cạnh góc vuông. Giả sử AC = 60 cm.
Diện tích ABC = ½ AB x AC
= ½ x AB x 60 = 30 AB (1)
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
=> AB2 + AC2 = BC2
=> AB2 + 602 = BC2 (2)
= > (AB,60,BC) là 1 bộ ba Pythagore.
(11,60,61) là 1 bộ ba Pythagore.
Suy ra, một lời giải của phương trình (2) là AB = 11 cm, BC = 61 cm và
Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ x 11 x 60 = 330 cm2
B2) Trường hợp 2: Đường cao thẳng góc với cạnh huyền, thí dụ: AH = 60 cm
Diện tích ABC = ½ AH x BC = ½ x 60 x BC
Diện tích ABC cũng bằng ½ AB x AC
= > AB x AC = 60 BC (3)
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
AB2 + AC2 = BC2 (4)
=> (AB,AC,BC) là 1 bộ ba Pythagore.
Theo (3) và (4), nếu ta tìm được 1 bộ 3 Pythagore mà tích số của 2 số đầu bằng 60 lần số thứ ba,
thì ta sẽ tìm được lời giải của bài toán.
(3,4,5) là một bộ ba Pythagore.
Nhân 3, 4, 5 cho 25 => (75,100, 125) là một bộ ba Pythagore.
Bộ ba (75,100,125) thoả 2 tính chất (3) và (4). Thật vậy, ta có:
75 x 100 = 7500 = 60 x 125
Suy ra: một lời giải của hệ thống (3) và (4) là AB = 75, AC = 100
=> Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 75 x 100 = 3,750 cm2
Tóm lai, bài toán có 2 đáp số: diện tích tam giác vuông bằng 330 cm2 hay 3,750 cm2 tuỳ theo đường cao là một cạnh góc vuông hay thẳng góc với cạnh huyền.
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 