ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP230 – Bộ ba Pythagore và vài áp dụng thú vị



Trong bài “Định lý cuối cùng của Fermat”, chúng ta có bàn sơ qua về bộ ba Pythagore. Trong bài nầy, Thuận Hoà sẽ nhắc lại tỉ mỉ hơn về các bộ ba Pythagore và đặc biệt chú trọng vài áp dụng rất thú vị của các bộ ba nầy.

Bộ ba Pythagore

image002

Theo định lý Pythagore thì “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông”.
Xét tam giác ABC vuông tại A với 3 cạnh BC = a, AB = c, AC = b
= > BC2 = AB2 + AC2 => b2 + c2 = a2
Ba cạnh a, b, c của tam giác vuông hợp thành một bộ ba Pythagore, ký hiệu: (b,c,a). Để ý rằng 2 cạnh góc vuông b, c có thể hoán vị được và cạnh huyền a (cạnh lớn nhất) luôn luôn được viết sau cùng.

Ba bộ ba Pythagore thường được biết đến là:

(3,4,5)      vì    32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
(5,12,13)   vì    52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
(8,15,17)   vì    82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172

Tích số của 3 số của một bộ ba Pythagore với cùng một số nguyên cũng hợp thành một bộ ba Pythagore:

(3,4,5) bộ ba Pythagore => (15,20,25), … , (3k,4k,5k) bộ ba Pythagore

Ba số của một bộ ba Pythagore có thể đơn giản cho cùng một ước số chung của 3 số đó:

(12,16,20) bộ ba Pythagore =>(3,4,5) bộ ba Pythagore

Bộ ba Pythagore (b,c,a) tối giản khi a, b, c không có ước số chung khác 1.

Có vô số bộ ba Pythagore, một số bô ba Pythagore tối giản được liệt kê sau đây:

(3,4,5) (5,12,13) (7,24, 25) (8,15,17) (9,40,41) (20,21,29) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85)
(15,112,113) (16,63,65) (20,99,101) (24,143,145) (28,45, 53) (33,56,65) ……..

Áp dụng

Vài áp dụng thú vị của bộ ba Pythagore là:

A) Tính diện tích của một tam giác vuông biết độ dài của một đường trung tuyến
B) Tính diện tích của một tam giác vuông biết độ dài của một đường cao

Trong mỗi áp dụng, ta xét 2 trường hợp.

A) Áp dụng A: Tính diện tích tam giác vuông ABC có một đường trung tuyến bằng 25 cm

A1) Trường hợp trung tuyến phát xuất từ đỉnh của một góc nhọn, thí dụ BM = 25 cm.

image004 AM = ½ AC
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABM:
=> AB2 + AM2 = BM2 => AB2 + (½ AC)2 = 252
=> (AB,½ AC,25) là một bộ ba Pythagore

Vì (7,24,25) là một bộ ba Pythagore nên:
AB = 7, ½ AC = 24 = > AC = 48

Suy ra diện tích tam giác vuông ABC:

dt(ABC) = ½ AB x AC = ½ 7 x 48 = 168 cm2

A2) Trường hơp trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông, thí dụ AN = 25 cm.

image006Theo một tính chất của tam giác vuông: BC = 2AN = 50 cm
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
=> AB2 + AC2 = BC2 = 502
=> (AB,AC,50) là một bộ ba Pythagore

Vì (7,24,25) là một bộ ba Pythagore, nên (14,48,50) cũng là một bộ ba Pythagore.

Suy ra: AB = 14, AC = 48 và diện tích của tam giác vuông ABC:

dt(ABC) = ½ AB x AC = ½ 14 x 48 = 336 cm2

Tóm lại, bài toán có 2 lời giải: diện tích tam giác vuông ABC bằng 168 cm2 hay 336 cm2 tuỳ theo đường đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh góc nhọn hay đỉnh góc vuông.

 

B) Áp dụng B: Tính diện tích tam giác vuông ABC có một đường cao bằng 60 cm

Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Đường cao dài 60 cm có thể là chiều dài của cạnh AB hay AC và cũng có thể là chiều dài của đoạn AH phát xuất từ A và thẳng góc với BC.

B1) Trường hợp 1: Đường cao là 1 cạnh góc vuông. Giả sử AC = 60 cm.

image008Diện tích ABC = ½ AB x AC
= ½ x AB x 60 = 30 AB             (1)

Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
=> AB2 + AC2 = BC2
=> AB2 + 602 = BC2 (2)
= > (AB,60,BC) là 1 bộ ba Pythagore.

(11,60,61) là 1 bộ ba Pythagore.

Suy ra, một lời giải của phương trình (2) là AB = 11 cm, BC = 61 cm và

Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ x 11 x 60 = 330 cm2

B2) Trường hợp 2: Đường cao thẳng góc với cạnh huyền, thí dụ: AH = 60 cm

Diện tích ABC = ½ AH x BC = ½ x 60 x BCimage010
Diện tích ABC cũng bằng ½ AB x AC
= > AB x AC = 60 BC    (3)

Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:
AB2 + AC2 = BC2           (4)
=> (AB,AC,BC) là 1 bộ ba Pythagore.

Theo (3) và (4), nếu ta tìm được 1 bộ 3 Pythagore mà tích số của 2 số đầu bằng 60 lần số thứ ba,
thì ta sẽ tìm được lời giải của bài toán.

(3,4,5) là một bộ ba Pythagore.

Nhân 3, 4, 5 cho 25 => (75,100, 125) là một bộ ba Pythagore.

Bộ ba (75,100,125) thoả 2 tính chất (3) và (4). Thật vậy, ta có:
75 x 100 = 7500 = 60 x 125

Suy ra: một lời giải của hệ thống (3) và (4) là AB = 75, AC = 100

=> Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 75 x 100 = 3,750 cm2

Tóm lai, bài toán có 2 đáp số: diện tích tam giác vuông bằng 330 cm2 hay 3,750 cm2 tuỳ theo đường cao là một cạnh góc vuông hay thẳng góc với cạnh huyền.

Thuận Hoà
Sydney, 2016

 
<span>%d</span> bloggers like this: