CP234 – Có bao nhiêu số nguyên tố trong dãy số vô hạn (3n-1)?
Dãy số vô hạn (3n-1) là dãy các số có dạng (3n-1) khi số nguyên n tăng từ 1 đến vô hạn.
2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 ……… (1)
Một số số nguyên tố đầu tiên thấy được trong dãy số trên là:
2, 5, 11, 17, 23, 29, ….
Câu hỏi đặt ra là: Số số nguyên tố của dãy số vô hạn (1) là hữu hạn hay vô hạn?
Trước khi trả lời câu hỏi đó, ta xét một dãy số đơn giản hơn là dãy số tự nhiên:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …. (2)
Dãy số tự nhiên (2) có vô số số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..
Tính chất này có thể được chứng minh như sau:
Gọi p1, p2, …. , pk là tất cả k số nguyên tố đẩu tiên tìm được. Ta chứng minh là có thể tìm được 1 số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố đã tìm được.
Thật vậy: nếu tất cả các số nguyên tố tăng dần đã biết là p1, p2, p3, … pk thì số
N = p1p2p3 ….pk + 1
sẽ có 1 ước số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố đã biết.
Nếu N nguyên tố => N là số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố đã biết pk.
Nếu N không nguyên tố, N chia đúng cho một số nguyên tố q nào đó.
q không thể bằng p1 hay p2 …. hay pk vì dư số của phép chia N cho các số nguyên tố nầy bằng 1 => q là số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố đã biết pk.
Thí dụ: Các số nguyên tố đầu tiên 2, 3, 5 => P =2x3x5 + 1 = 31 là số nguyên tố lớn hơn 5
Các số nguyên tố đầu tiên 2, 3, 5, 7 => P = 2x3x5x7 + 1 = 231 = 11 x 21 => 11 là số nguyên tố lớn hơn 7
Tóm lại: dãy số tự nhiên (2) có vô số số nguyên tố.
* * *
Giống như dãy số tự nhiên, dãy số (3n-1) cũng có vô hạn số nguyên tố và cách chứng minh cũng tương tự. Nhưng trước hết, ta cần chứng minh một tính chất của dãy số (3n-1).
Các số trong dãy số (3n-1) có thể là số nguyên tố như 2, 5, 11, 17, … hay không nguyên tố như 8, 14, 20, …
Nếu số (3n -1) không phải là số nguyên tố, (3n -1) có ít nhất một ước số nguyên tố cũng có dạng (3k – 1).
Thật vậy, các số (3n -1) cách khoảng nhau 3 con số. Một ước số nguyên tố của (3n -1) có thể là 1 số nguyên tố đứng trước trong dãy số (thí dụ: 1 ước số nguyên tố của 20 là 5), hay 1 số q nào đó nằm trong khoảng giữa 2 số hạng của dãy số (thí dụ 7 nằm giữ 5 và 8, 13 nằm giữa 11 và 14). Nếu số q nhỏ hơn số hạng trên trong dãy số, thì q = (3n – 1) – 1 = 3n – 2 = 3k – 1 với k = n + 1 hay q = (3n – 1) – 2 = 3n – 3 = 3k với k = n + 1. q = 3k không nhận được vì q là 1 số nguyên tố.
Tóm lại, mọi số (3n – 1) của dãy số có ít nhất 1 ước số nguyên tố cũng có dạng (3k -1). Ước số nguyên tố nầy có thể chính là số (3n – 1), cũng có thể là 1 số hạng trong dãy số.
Bây giờ ta có đủ yếu tố để chứng minh rằng dãy số (3n-1), tức dãy số (1), có vô số số nguyên tố.
Xét tập hợp hữu hạn các số (3n – 1):
S = {2 5 8 11 ……… p} với p là số nguyên tố lớn nhất.
Xét số N = 3( 2.5.8.11….. p) – 1 = 3n – 1 với n = 2.5.7.8.11….. p
Nếu N là số nguyên tố => N là số nguyên tố lớn hơn p và lớn hơn các số nguyên tố trong S
Nếu N không phải là số nguyên tố, N có ít nhất 1 số nguyên tố có dạng 3k – 1. Số nguyên tố nầy không thể là các số nguyên tố trong tập hợp S vì các số nầy khi chia N có dư số là 1.
=> Số nguyên tố (3k – 1) lớn hơn p, tức là lớn hơn tất cả các số nguyên tố trong S
Tòm lại, trong tập hợp hữu hạn của dãy số {2 5 8 11 … p}, có thể tìm 1 số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố trong tập hợp.
Điều đó chứng tỏ rằng:
Dãy số vô hạn (3n-1) hay 2 5 8 11 14 17 ….. có vô số số nguyên tố.
Thuận Hoà
Sydney 2016
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 