Bài toán Monty Hall đã được tác giả trình bày dưới tên khác “Câu chuyện hai con dê và chiếc xe hơi” trong Chuyện phiếm Khoa học CP206 năm 2011.

Bài toán Monty Hall, đặt theo tên của ngưởi điều khiển chương trình “Let’s Make A Deal” trên truyền hình, là một bài toán rất nổi tiếng về xác suất và đã gây nhiều tranh luận ban đầu trong giới toán học. Bài toán bắt đầu với câu chuyện sau đây:

Thí sinh đứng trước 3 cánh cửa, phía sau 1 cánh cửa là 1 xe hơi, phía sau mỗi cánh cửa còn lại là 1 con dê. Thí sinh phải chọn 1 cánh cửa và lảnh giải của mình phía sau cánh cửa. Lẽ dĩ nhiên, thí sinh mong muốn chọn được cánh cửa mà phía sau có xe hơi. Khi thí sinh đã  chọn 1 cánh cửa, người điều kiển chương trình không mở cánh cửa đó nhưng lại mở một cánh cửa khác có con dê phía sau và cho phép thí sinh được thay đổi ý kiến, tức là hoặc giữ cánh cửa đã chọn hoặc chọn cánh cửa khác.

Trước sự cổ võ nồng nhiệt của khán giả, người bảo “giữ nguyên”, kẻ bảo “thay đối”, thí sinh sinh ra lúng túng và thường chỉ có thể giải quyết theo cảm tính như: “chỉ còn 2 cánh cửa, may rủi như nhau, giữ nguyên hay thay đổi cũng giống nhau” hay tệ hơn: “người điều khiển chương trình chỉ cho phép thí sinh thay đổi quyết định khi thí sinh đã chọn đúng cánh cửa có xe hơi phía sau”, …

Bài toán Monty Hall đã gây ra nhiều tranh luận vì những giả thiết ban đầu của bài toán đã không được xác định rõ ràng. Những giả thiết đó như sau:

• Người điều khiển chương trình là người ngay thẳng, luôn luôn cho phép thí sinh thay đổi cánh cửa đã chọn nếu muốn, dù biết rằng đàng sau nó có xe hơi hay không.
  Nếu người điều khiển chương trình không ngay thẳng thì thí sinh chỉ cần giữ sự lựa chọn ban đầu là tốt nhứt vì thí sinh chỉ được đề nghị thay đổi cánh cửa đã chọn khi đàng sau cánh cửa nầy có chiếc xe hơi!
• Người điều khiển chương trình biết rõ cánh cửa có xe hơi phía sau. Khi ông ta mở cánh cửa, ông ta đã tránh không chọn cánh cửa nầy, nhưng chọn cánh cửa có con dê phía sau.
• Xe hơi được được đặt một cách may rủi sau một cánh cửa bất kỳ.

Chúng ta giả thiết rằng các điều kiện cần thiết đều được thỏa trong bài toán Monty Hall nầy.

Câu chuyện trở nên sôi động khi độc giả Craig Whitaker đặt một câu hỏi cho ký giả Marilyn vos Savant trên tạp chí Parade. Câu hỏi như sau. Giả sử cô là thí sinh của trò chơi “Let’s Make a Deal”. Có 3 cánh cửa. Sau 1 cánh cửa là chiếc xe hơi, sau 2 cánh cửa còn lại là 2 con dê. Cô chọn cánh cửa số 1. Người điều khiển chương trình mở cánh cửa số 3 với con dê phía sau và hỏi cô có muốn thay đổi ý định và chọn cửa số 2 hay không? Theo cô thì giữ nguyên hay thay đổi sự lựa chọn, cái nào tốt hơn?

Trong phần trả lời, Marilyn cho là thay đổi ý định thì tốt hơn, tức là thay vì giữ ý định đã chọn cửa số 1 nên thay đổi chọn cửa số 2. Cửa số 1 chỉ có 1/3 cơ hội được xe hơi nhưng cửa số 2 có cơ hội đó đến 2/3. Marilyn còn đưa ra một thí dụ: giả sử có 1 triệu cánh cửa và chỉ có 1 cánh cửa có xe hơi phía sau còn tất cả các cánh cửa khác đều có con dê phía sau. Khi thí sinh chọn cánh cửa số 1, người điều khiển chương trình đóng hết các cánh cửa còn lại, chỉ chừa cánh cửa số 777,777 thì thí sinh sẽ nhanh chóng bỏ cánh cửa số 1 mà nhảy sang cánh cửa đó, có phải thế không?

Sau ngày giải đáp của Marilyn  đăng trên báo, bàn giấy của cô tràn ngập thư của độc giả gởi đến phản đối, cho là câu trả lời của cô là sai, trong đó có thư của nhiều vị có bằng PhD, có cả giáo sư dạy về xác suất, phần lớn với lời lẽ nặng nề, có ý chê bai là Marilyn  chưa hiểu gì về xác suất! (Xem bài tổng kết một số ý kiến của độc giả trong Website của Marilyn:  “http://marilynvossavant.com/game-show-problem/ “).

Tất cả các ý kiến phản đối đều cho rằng, dù giữ nguyên hay thay dổi sự chọn lựa ban đầu, xác suất để thí sinh chọn đúng cánh cửa có xe hơi chỉ lả 50% chớ không phải 2/3 như Marilyn đã viết.  Lý luận cho kết quả đó rất đơn giản, như sau: “Khi người điều khiển chương trình mở cánh cửa số 3 có con dê phía sau, thì trước mặt chỉ còn 2 cánh cửa đóng số 1 và 2, một cánh cửa có xe hơi và một cánh cửa có con dê phía sau. Trong 2 cánh cửa đó, thí sinh phải chọn 1. Như vậy, xác suất để thí sinh chọn đúng cánh cửa có xe hơi phía sau là 1/2  hay 50%.

Nhưng …….. kết luận đó sai, theo ký giả Marilyn vos Savant!.   Trong bài tổng kết các ý kiến, Marilyn  bảo vệ ý kiến của mình bằng cách xét 6 trường hợp, 3 trường hợp thí sinh giữ nguyên và 3 trường hợp thí sinh thay đổi sự lựa chọn ban đầu. Để ý rằng thí sinh chọn cánh cửa số 1 và người điều khiển chương trình mở một cánh cửa có con dê phía sau:

Theo 2 bảng trên thì:

–     Nếu giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu, xác suất để thí sinh được xe hơi là 1/3.
–     Nếu thay đổi sự lựa chọn ban đầu, xác suất để thí sinh được xe hơi là 2/3


Thuận Hoà
Sydney 2016